2016_浙江卷 (2016·理)
13．（6 分）（2016•浙江）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，若 $\mathrm{S}_{2}=4, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，则 $\mathrm{a}_{1}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{S}_{5}=$ $\_\_\_\_$。
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】运用 $\mathrm{n}=1$ 时， $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{S}_{1}$ ，代入条件，结合 $\mathrm{S}_{2}=4$ ，解方程可得首项；再由 $\mathrm{n}>1$ 时， $a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$ ，结合条件，计算即可得到所求和。
【解答】解：由 $\mathrm{n}=1$ 时， $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{S}_{1}$ ，可得 $\mathrm{a}_{2}=2 \mathrm{~S}_{1}+1=2 \mathrm{a}_{1}+1$ ，
又 $\mathrm{S}_{2}=4$ ，即 $\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}=4$ ，
即有 $3 a_{1}+1=4$ ，解得 $a_{1}=1$ ；
由 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$ ，可得
$\mathrm{S}_{\mathrm{n}+1}=3 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+1$ ，
由 $\mathrm{S}_{2}=4$ ，可得 $\mathrm{S}_{3}=3 \times 4+1=13$ ，
$\mathrm{S}_{4}=3 \times 13+1=40$ ，
$\mathrm{S}_{5}=3 \times 40+1=121$ ．
故答案为： 1,121 ．
【点评】本题考查数列的通项和前 n 项和的关系： $\mathrm{n}=1$ 时， $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{S}_{1}, \mathrm{n}>1$ 时， $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{S}_{\mathrm{n}}-\mathrm{S}_{\mathrm{n}-1}$ ，考查运算能力，属于中档题。