（本小题满分 12 分） 已知数列 a_ n 的前 n 项…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【答案】①$a_{n}=3 n-2$，（2）详见解析．

## 【解析】

试题分析：（1）由和项求通项，主要根据 $a_{n}=\left\{\begin{array}{c}S_{1}, n=1 \\ S_{n}-S_{n-1}, n \geq 2\end{array}\right.$ 进行求解．因为 $S_{n}=\frac{3 n^{2}-n}{2}$，所以当 $n \geq 2$ 时 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=3 n-2$，又 $n=1$ 时，$a_{n}=S=1=3 \times 1-2$，所以 $a_{n}=3 n-2$，（2）证明存在性问题，实质是确定 $m$．

要使得 $a_{1}, a_{n}, a_{m}$ 成等比数列，只需要 $a_{1}{ }^{2}=a_{1} a_{m}$，四 $(3 n-2)^{2}=1 \times(3 m-2), m=3 n^{2}-4 n+2$。而此时 $m \in N^{*}$，且 $m>n$，所以对任意 $n>1$，都有 $m \in N^{-*}$，使得 $a_{1}, a_{2}, a_{m}$ 成等比数列。

试题解析：（1）因为 $S_{n}=\frac{3 n^{2}-n}{2}$，所以当 $n \geq 2$ 吋 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=3 n-2$，又 $n=1$ 时，$a_{n}=S_{1}=1=3 \times 1-2$，所以 $a_{n}=3 n-2$，（2）要使得 $a_{1}, a_{n}, a_{m}$ 成等比数列，只需要 $a_{n}{ }^{2}=a_{1} a_{m}$，即 $(3 n-2)^{2}=1 \times(3 m-2), m=3 n^{2}-4 n+2$。而此时 $m \in N^{*}$，且 $m>n$，所以对任意 $n>1$，都有 $m \in N^{*}$，使得 $a_{1}, a_{n}, a_{m}$ 成等比数列．

考点：由和项求通项，等比数列