2023_江苏卷 (2023·物理)
16．霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。 $O x y$ 平面内存在坚直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 $B$ 。质量为 $m$ 、电荷量为 $e$ 的电子从 $O$ 点沿 $x$ 轴正方向水平入射。入射速度为 $v_{0}$ 时，电子沿 $x$ 轴做直线运动；入射速度小于 $v_{0}$ 时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小 $E$ ；
（2）若电子入射速度为 $\frac{v_{0}}{4}$ ，求运动到速度为 $\frac{v_{0}}{2}$ 时位置的纵坐标 $y_{1}$ ；
（3）若电子入射速度在 $0<v<v_{0}$ 范围内均匀分布，求能到达纵坐标 $y_{2}=\frac{m v_{0}}{5 e B}$ 位置的电子数 $N$ 占总电子数 $N_{0}$ 的百分比。
(1) $v_{0} B$; (2) $\frac{3 m v_{0}}{32 e B}$; (3) 90％
【答案】①$v_{0} B$ ；②$\frac{3 m v_{0}}{32 e B}$ ；（3）90％
【解析】
【详解】（1）由题知，入射速度为 $v_{0}$ 时，电子沿 $x$ 轴做直线运动则有
$$ E e=e v_{0} B $$
解得
$$ E=v_{0} B $$
（2）电子在坚直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为 $\frac{v_{0}}{4}$ ，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
$$ e E y_{1}=\frac{1}{2} m\left(\frac{1}{2} v_{0}\right)^{2}-\frac{1}{2} m\left(\frac{1}{4} v_{0}\right)^{2} $$
解得
$$ y_{1}=\frac{3 m v_{0}}{32 e B} $$
（3）若电子以 $v$ 入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为 $y$ ，则根据动能定理有
$$ e E y=\frac{1}{2} m v_{\mathrm{m}}^{2}-\frac{1}{2} m v^{2} $$
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
$$ F_{\text {合 }}=e v_{\mathrm{m}} B-e E $$
在最低点有
$$ F_{\text {合 }}=e E-e v B $$
联立有
$$ \begin{aligned} v_{\mathrm{m}} & =\frac{2 E}{B}-v \\ y & =\frac{2 m\left(v_{0}-v\right)}{e B} \end{aligned} $$
要让电子达纵坐标 $y_{2}=\frac{m v_{0}}{5 e B}$ 位置，即
$$ y \geq y_{2} $$
解得
$$ v \leq \frac{9}{10} v_{0} $$
则若电子入射速度在 $0<v<v_{0}$ 范围内均匀分布，能到达纵坐标 $y_{2}=\frac{m v_{0}}{5 e B}$ 位置的电子数 $N$ 占总电子数 $N_{0}$ 的90％。