2012_浙江卷 (2012·文)
17．（2012•浙江）定义：曲线 C 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 $l$ 的距离，已知曲线 $\mathrm{C}_{1}$ ： $y=x^{2}+a$ 到直线 $1: y=x$ 的距离等于曲线 $C_{2}: x^{2}+(y+4)^{2}=2$ 到直线 $1: y=x$ 的距离，则实数 $a=-\frac{9}{4}$ 。
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式。
专题：计算题。
分析：先根据定义求出曲线 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}+(\mathrm{y}+4)^{2}=2$ 到直线 $1: \mathrm{y}=\mathrm{x}$ 的距离，然后根据曲线 $\mathrm{C}_{1}: \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}$ 的切线与直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．
$\frac{9}{4}$
解答：解：圆 $x^{2}+(y+4)^{2}=2$ 的圆心为 $(0,-4)$ ，半径为 $\sqrt{2}$
圆心到直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 的距离为 $\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}$
∴ 曲线 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}+(\mathrm{y}+4)^{2}=2$ 到直线 $1: \mathrm{y}=\mathrm{x}$ 的距离为 $2 \sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$
则曲线 $C_{1}: y=x^{2}+a$ 到直线 $1: y=x$ 的距离等于 $\sqrt{2}$
令 $y^{\prime}=2 x=1$ 解得 $x=\frac{1}{2}$ ，故切点为 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}+a\right)$
切线方程为 $\mathrm{y}-\left(\frac{1}{4}+\mathrm{a}\right)=\mathrm{x}-\frac{1}{2}$ 即 $\mathrm{x}-\mathrm{y}-\frac{1}{4}+\mathrm{a}=0$
由题意可知 $x-y-\frac{1}{4}+a=0$ 与直线 $y=x$ 的距离为 $\sqrt{2}$
即 $\frac{\left|a-\frac{1}{4}\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ 解得 $a=\frac{9}{4}$ 或 $-\frac{7}{4}$
当 $a=-\frac{7}{4}$ 时直线 $y=x$ 与曲线 $C_{1}: y=x^{2}+a$ 相交，故不符合题意，舍去
故答案为：$\frac{9}{4}$
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
可以再试一道相同方法、不同题面的题，确认是否真正掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。