【答案】① $a _ { n } = 2 { \bigl ( } n - 1 { \bigr ) }$ $b _ { n } = n { \bigl ( } n + 1 { \bigr ) }$ ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的首项和公差确定数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的通项公式；
(2)结合(1)的结果对数列 $\left\{ c _ { n } \right\}$ 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.
【详解】①由题意可得： $\left\{ \begin{array} { c } { a _ { 1 } + 2 d = 4 } \\ { \displaystyle a _ { 1 } + 3 d = 3 a _ { 1 } + \frac { 3 \times 2 } { 2 } d } \end{array} \right.$ ，解得： $\begin{array} { r } { \left\{ { a _ { 1 } = 0 } \atop { d = 2 } \right. } \end{array}$
则数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式为.
其前 n 项和 $S _ { n } = { \frac { { \big ( } 0 + 2 n - 2 { \big ) } \times n } { 2 } } = n { \big ( } n - 1 { \big ) }$
则 $n { \big ( } n - 1 { \big ) } + b _ { n } , n { \big ( } n + 1 { \big ) } + b _ { n } , { \big ( } n + 1 { \big ) } { \big ( } n + 2 { \big ) } + b _ { n }$ 成等比数列，即：
$$
\Big [ n \big ( n + 1 \big ) + b _ { n } \Big ] ^ { 2 } = \Big [ n \big ( n - 1 \big ) + b _ { n } \Big ] \times \Big [ \big ( n + 1 \big ) \big ( n + 2 \big ) + b _ { n } \Big ]
$$
据此有：
$$
n ^ { 2 } \left( n + 1 \right) ^ { 2 } + 2 n \left( n + 1 \right) b _ { n } + b _ { n } ^ { 2 } = n \left( n - 1 \right) \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) + \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) b _ { n } + n \left( n - 1 \right) b _ { n } + b _ { n } ^ { 2 } ,
$$
<sup>2</sup> <sup>2</sup>( 1) ( 1)( 1)( 2)n n n n n n+ - - + + 故 <sub>n</sub>b = = n(n +1). (n+1)(n+2)+n(n−1)−2n(n+1)
(2)结合(1)中的通项公式可得：
$$
C _ { n } = { \sqrt { \frac { a _ { n } } { 2 b _ { n } } } } = { \sqrt { \frac { n - 1 } { n ( n + 1 ) } } } < { \sqrt { \frac { 1 } { n } } } = { \frac { 2 } { \sqrt { n } + { \sqrt { n } } } } < { \frac { 2 } { \sqrt { n } + { \sqrt { n - 1 } } } } = 2 \left( { \sqrt { n } } - { \sqrt { n - 1 } } \right) ,
$$
$$
C _ { 1 } + C _ { 2 } + \cdots + C _ { n } < 2 { \Big ( } { \sqrt { 1 } } - 0 { \Big ) } + 2 { \Big ( } { \sqrt { 2 } } - { \sqrt { 1 } } { \Big ) } + \cdots + 2 { \Big ( } { \sqrt { n } } - { \sqrt { n - 1 } } { \Big ) } = 2 { \sqrt { n } } - { \Bigg . }
$$
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.