2020_天津卷
15.如图，在四边形ABCD中， $\angle B = 6 0 ^ { \circ }$ $A B = 3$ $B C = 6$ ，且 $\overrightarrow { A D } = \lambda \overrightarrow { B C }$ $\overrightarrow { A D } \cdot \overrightarrow { A B } = - \frac { 3 } { 2 }$ ，则实
数l的值为 ，若M N, 是线段BC上的动点，且 $\mid \overrightarrow { M N } \mid = 1$ ，则 $\overrightarrow { D M } \cdot \overrightarrow { D N }$ 的最小值为
(1) $\frac { 1 } { 6 }$; (2) $\frac { 1 3 } { 2 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 (1). $\frac { 1 } { 6 }$ (2). $\frac { 1 3 } { 2 }$
【解析】
【分析】
可得 $\angle B A D = 1 2 0 ^ { \circ }$ ，利用平面向量数量积的定义求得l的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点 $M \left( x , 0 \right)$ ，则点 $N \left( x + 1 , 0 \right)$ （其中 $0 \leq x \leq 5 \ )$ ，得出 $\overrightarrow { D M } \cdot \overrightarrow { D N }$ 关于 x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 $\overrightarrow { D M } \cdot \overrightarrow { D N }$ 的最小值.
【详解】 $\because \overrightarrow { A D } = \lambda \overrightarrow { B C } \ , \therefore A D / / B C \ , \therefore \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B = 1 2 0 ^ { \circ }$
$$ \overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { A D } = \lambda \overrightarrow { B C } \cdot \overrightarrow { A B } = \lambda \Big | \overrightarrow { B C } \Big | \cdot \Big | \overrightarrow { A B } \Big | \cos 1 2 0 ^ { \circ } $$
$$ = \lambda \times 6 \times 3 \times ( - \frac { 1 } { 2 } ) = - 9 \lambda = - \frac { 3 } { 2 } , $$
解得 $\lambda = \frac { 1 } { 6 }$
以点B为坐标原点，BC所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 $x B y$
∵ BC = 6, ∴ C (6,0),
$\because \lvert A B \rvert = 3 , \angle A B C = 6 0 ^ { \circ }$ ，∴A的坐标为 $A \left( { \frac { 3 } { 2 } } , { \frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { 2 } } \right)$
∵又 $\because { \overrightarrow { A D } } = { \frac { 1 } { 6 } } { \overrightarrow { B C } }$ ,则 $D \left( { \frac { 5 } { 2 } } , { \frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { 2 } } \right)$ ，设 $M \left( x , 0 \right)$ ，则 $N \left( x + 1 , 0 \right)$ （其中 $0 \leq x \leq 5 \ )$
$$ \overrightarrow { D M } = \left( x - \frac { 5 } { 2 } , - \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \right) , \overrightarrow { D N } = \left( x - \frac { 3 } { 2 } , - \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \right) , $$
$$ { \overrightarrow { D M } } \cdot { \overrightarrow { D N } } = \left( x - { \frac { 5 } { 2 } } \right) \left( x - { \frac { 3 } { 2 } } \right) + \left( { \frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { 2 } } \right) ^ { 2 } = x ^ { 2 } - 4 x + { \frac { 2 1 } { 2 } } = \left( x - 2 \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 3 } { 2 } } , $$
所以，当 $x = 2$ 时， $\overrightarrow { D M } \cdot \overrightarrow { D N }$ 取得最小值 $\frac { 1 3 } { 2 }$ .
故答案为： ${ \frac { 1 } { 6 } } ; \ { \frac { 1 3 } { 2 } }$
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.