若直线l与曲线 y = x 和 | x ^ 2 + y ^…——2020 高考数学第 10 题答案解析

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】设直线l在曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 上的切点为 $\left( x _ { 0 } , { \sqrt { x _ { 0 } } } \right)$ ，则 $x _ { 0 } > 0$

函数 $y = { \sqrt { x } }$ 的导数为 $y ^ { \prime } { = } \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } }$ ，则直线l的斜率 $k = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x _ { 0 } } }$ ，

设直线l的方程为 $y - \sqrt { x _ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x _ { 0 } } } \big ( x - x _ { 0 } \big )$ ，即 $x - 2 \sqrt { x _ { 0 } } y + x _ { 0 } = 0$

由于直线l与圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \frac { 1 } { 5 }$ 相切，则 $\frac { x _ { 0 } } { \sqrt { 1 + 4 x _ { 0 } } } = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } }$

两边平方并整理得 $5 x _ { 0 } ^ { 2 } - 4 x _ { 0 } - 1 = 0$ ，解得 $x _ { 0 } = 1$ $x _ { 0 } = - \frac { 1 } { 5 }$ （舍），

则直线l的方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ ，即 $y = \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 2 }$

故选：D.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.