2009_quanguo_old_i
7．（5分）已知三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的侧棱与底面边长都相等， ${ \sf A } _ { 1 }$ 在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线 $\mathsf { A B }$ 与 $\mathsf { C C } _ { 1 }$ 所成的角的余弦值为（ ）
A $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$ B $\frac { \sqrt { 5 } } { 4 }$ C $\frac { \sqrt { 7 } } { 4 }$ D $\frac { 3 } { 4 }$
D
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系
【分析】首先找到异面直线 $\mathsf { A B }$ 与 $\mathsf { C C } _ { 1 }$ 所成的角（如 $\angle A _ { 1 } A B )$ ；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ 的长度即可；不妨设三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之
【解答】解：设BC的中点为D，连接 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } , \mathsf { A } \mathsf { D } , \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ ，易知 $scriptstyle | \theta = \angle A _ { 1 } A \mathsf { B }$ 即为异面直线$\mathsf { A B }$ 与 $\mathsf { C C } _ { 1 }$ 所成的角；
并设三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的侧棱与底面边长为1，则 $\left| \mathsf { A D } \right| = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , \quad \left| \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \right| = \frac { 1 } { 2 } , \quad \left| \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } \right|$ $\scriptstyle = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ 9
由余弦定理，得 $\cos \theta = \frac { 1 + 1 - \frac { 1 } { 2 } } { 2 } = \frac { 3 } { 4 }$
故选：D
【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
可以再试一道相同方法、不同题面的题，确认是否真正掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。