如图，在棱长为2的正方体 A B C D - A _ 1…——2021 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（I）证明见解析；（II） $\frac { \sqrt { 3 } } { 9 }$ ；（III） $\frac 1 3$

【解析】

【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出 $\overrightarrow { D _ { 1 } F }$ 及平面 $A _ { 1 } E C _ { 1 }$ 的一个法向量 $\overrightarrow { m }$ ，证明$\overrightarrow { D _ { 1 } F } \perp \overrightarrow { m }$ ，即可得证；

（II）求出 $\overrightarrow { A C _ { 1 } }$ ，由 $\sin \theta = \left| \cos \left. \overrightarrow { m } , \overrightarrow { A C } _ { 1 } \right. \right|$ 运算即可得解；

（III）求得平面 $A A _ { 1 } C _ { 1 }$ 的一个法向量 $\overrightarrow { D B }$ ，由 $\cos \left. { \overrightarrow { D B } } , { \overrightarrow { m } } \right. = { \frac { { \overrightarrow { D B } } \cdot { \overrightarrow { m } } } { \left| { \overrightarrow { D B } } \right| \cdot \left| { \overrightarrow { m } } \right| } }$ 结合同角三角函数的平方关系即可得解.

【详解】（I）以A为原点， $A B , A D , A A _ { 1 }$ _分别为x y z, , _{轴，建立如图空间直角坐标系，}

则 $A \left( 0 , 0 , 0 \right) , A _ { 1 } \left( 0 , 0 , 2 \right) , B \left( 2 , 0 , 0 \right) , C \left( 2 , 2 , 0 \right) , D \left( 0 , 2 , 0 \right) , C _ { 1 } \left( 2 , 2 , 2 \right) , D _ { 1 } \left( 0 , 2 , 2 \right)$ 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E(2,1,0)，F(1,2,0)，
所以 $\overrightarrow { D _ { 1 } F } = \left( 1 , 0 , - 2 \right) , \overrightarrow { A _ { 1 } C _ { 1 } } = \left( 2 , 2 , 0 \right) , \overrightarrow { A _ { 1 } E } = \left( 2 , 1 , - 2 \right)$
设平面 $A _ { 1 } E C _ { 1 }$ 的一个法向量为 $\overrightarrow { m } = \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } \right)$
则 $\left\{ \begin{array} { l l } { \overrightarrow { m } \cdot \overrightarrow { A _ { 1 } C _ { 1 } } = 2 x _ { 1 } + 2 y _ { 1 } = 0 } \\ { \overrightarrow { m } \cdot \overrightarrow { A _ { 1 } E } = 2 x _ { 1 } + y _ { 1 } - 2 z _ { 1 } = 0 } \end{array} \right.$ ，令 $x _ { \mathrm { 1 } } = 2$ ，则 $\stackrel { } { m } = ( 2 , - 2 , 1 )$
因为 ${ \overrightarrow { D _ { 1 } F } } \cdot { \overrightarrow { m } } = 2 - 2 = 0$ ，所以 $\overrightarrow { D _ { 1 } F } \perp \overrightarrow { m }$
因为 $D _ { 1 } F \not \subset$ 平面 $A _ { 1 } E C _ { 1 }$ ，所以 $D _ { 1 } F / /$ 平面 $A _ { 1 } E C _ { 1 }$ ；
（II）由（1）得， $\overrightarrow { A C _ { 1 } } = \left( 2 , 2 , 2 \right)$
设直线 $A C _ { 1 } \bot$ 平面 $A _ { 1 } E C _ { 1 }$ 所成角为 $\theta$ ，
则 $\sin \theta = \left| \cos \left. { \overrightarrow { m } } , { \overrightarrow { A C _ { 1 } } } \right. \right| = \left| { \overrightarrow { m } } \cdot { \overrightarrow { A C _ { 1 } } } \right| = { \frac { 2 } { 3 \times 2 { \sqrt { 3 } } } } = { \frac { \sqrt { 3 } } { 9 } } ,$
（III）由正方体的特征可得，平面 $A A _ { 1 } C _ { 1 }$ 的一个法向量为 $\overrightarrow { D B } = \left( 2 , - 2 , 0 \right)$
则 $\cos \left. \overrightarrow { D B } , \overrightarrow { m } \right. = \frac { \overrightarrow { D B } \cdot \overrightarrow { m } } { \left| \overrightarrow { D B } \right| \cdot \left| \overrightarrow { m } \right| } = \frac { 8 } { 3 \times 2 \sqrt { 2 } } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }$
所以二面角 $A - A _ { 1 } C _ { 1 } - E$ 的正弦值为 $\sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \left. \overrightarrow { D B } , \overrightarrow { m } \right. } = \frac { 1 } { 3 }$