设 a, b 为正实数，现有下列命题： ①若 a^ 2 -…——2012 高考数学第 16 题答案解析

答案：①④
解析：（1）$a^{2}-b^{2}=1, \because b^{2}>0, \therefore b^{2}>1$ ，
故 $a>1$ ，而 $a-b=\frac{1}{a+b}, \because a>1, b>0, \therefore a+b>1, \frac{1}{a+b}<1$ ，所以（1）正确；
> ②$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=1, \because$ 当 $b=\frac{2}{3}, a=2$ 时，满足 $\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$ ，而此时 $a-b>1$ ，所以（2）错；
> ③$\because a, b$ 为正实数，且 $|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=1$ ，不妨设 $a>b$ ，则
$a-b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ，而 $\sqrt{a}=\sqrt{b}+1>1, \therefore a-b=\sqrt{a}+\sqrt{b}>1$ ，所以（3）错；
> ④$\because a, b$ 为正实数，不妨设 $a>b$ ，

则 $a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+b^{2}+a b\right), \therefore a-b=\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+b^{2}+a b}$ ，
$\because a^{3}=1+b^{3}>1, \therefore a^{2}>1, a^{2}+b^{2}+a b>1$,
则 $0<\frac{1}{a^{2}+a b+b^{2}}<1, \therefore a-b=\frac{1}{a^{2}+a b+b^{2}}<1$ ，即 $|a-b|<1$ ，同理，设 $a<b$ ，也能得到 $|a-b|<1$ 的结论，故④正确。

考点定位：本题考查不等式的真假命题，意在考查考生特值法验证不等式和证明不等式。