曲线 y= e ^ x x+1 在点 (1, e 2 )…——2023 高考数学第 8 题答案解析

【答案】C
【解析】
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解．

【详解】设曲线 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}$ 在点 $\left(1, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ 处的切线方程为 $y-\frac{\mathrm{e}}{2}=k(x-1)$ ，

因为 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}$ ，
所以 $y^{\prime}=\frac{\mathrm{e}^{x}(x+1)-\mathrm{e}^{x}}{(x+1)^{2}}=\frac{x \mathrm{e}^{x}}{(x+1)^{2}}$ ，

所以 $k=\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=\frac{\mathrm{e}}{4}$
所以 $y-\frac{\mathrm{e}}{2}=\frac{\mathrm{e}}{4}(x-1)$

所以曲线 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}$ 在点 $\left(1, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ 处的切线方程为 $y=\frac{\mathrm{e}}{4} x+\frac{\mathrm{e}}{4}$ ．
故选：C