设函数 f(x)= e ^ x +2 sin x 1+x^…——2024 高考数学第 6 题答案解析

【答案】A
【解析】
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点 $(0,1)$ 处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积．
【详解】 $f^{\prime}(x)=\frac{\left(\mathrm{e}^{x}+2 \cos x\right)\left(1+x^{2}\right)-\left(\mathrm{e}^{x}+2 \sin x\right) \cdot 2 x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$ ，
则 $f^{\prime}(0)=\frac{\left(\mathrm{e}^{0}+2 \cos 0\right)(1+0)-\left(\mathrm{e}^{0}+2 \sin 0\right) \times 0}{(1+0)^{2}}=3$ ，
即该切线方程为 $y-1=3 x$ ，即 $y=3 x+1$ ，
令 $x=0$ ，则 $y=1$ ，令 $y=0$ ，则 $x=-\frac{1}{3}$ ，

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 $S=\frac{1}{2} \times 1 \times\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{6}$ ．
故选：A．