导数法高考真题解析

19. 已知 $f ( x ) = x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + m \mathrm { l n } x , m \in R$

(1)若 $f ( 1 ) = 0$ ,求不等式 $f ( x ) \leqslant x ^ { 2 } - 1$ 的解集；

(2) 若函数 $y = f ( x )$ 满足在 $( 0 , + \infty )$ 上存在极大值，求m的取值范围；

12． 直线 $y=2 x+5$ 是曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x+a$ 的切线，则 $a=$ $\_\_\_\_$．

$13. x = 2$是 $f(x) =(x$−1)(x−2)(x − a)的极值点，则 f(0) = .

18. （17分） $f ( x ) = \ln ( 1 + x ) - x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - k x ^ { 3 } , 0 < k < \frac { 1 } { 3 }$

(1）证明：f(x)在(0,+∞)存在唯一极值点和唯一零点；

② 设 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ 为 f(x)在(0,+∞)的极值点和零点；

(i) $g ( t ) = f ( x _ { 1 } + t ) - f ( x _ { 1 } - t )$ 。证明：g(t)在 $\left( 0 , x _ { 1 } \right)$ 单调递减.

（ii）比较 $2 x _ { 1 } x _ { 2 }$ 的大小，并证明.

6．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+2 \sin x}{1+x^{2}}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

21．已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$ ．
①当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

7．曲线 $f(x)=x^{6}+3 x-1$ 在 $(0,-1)$ 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）

14．曲线 $y=x^{3}-3 x$ 与 $y=-(x-1)^{2}+a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

17．已知函数 $f(x)=a(x-1)-\ln x+1$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $a \leq 2$ 时，证明：当 $x>1$ 时，$f(x)<\mathrm{e}^{x-1}$ 恒成立．

10．设函数 $f(x)=(x-1)^{2}(x-4)$ ，则（ ）

13．若曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切线，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

18．已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^{3}$
（1）若 $b=0$ ，且 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；
（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；
（3）若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$ ，求 $b$ 的取值范围．

11．设函数 $f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1$ ，则 ()

8．曲线 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}$ 在点 $\left(1, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ 处的切线方程为（ ）

22．（1）证明：当 $0<x<1$ 时，$x-x^{2}<\sin x<x$ ；
（2）已知函数 $f(x)=\cos a x-\ln \left(1-x^{2}\right)$ ，若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．

6．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$

12．已知 $a=\frac{31}{32}, b=\cos \frac{1}{4}, c=4 \sin \frac{1}{4}$ ，则（）

8．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$

16．已知 $x=x_{1}$ 和 $x=x_{2}$ 分别是函数 $f(x)=2 a^{x}-\mathrm{e} x^{2} \quad(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的极小值点和极大值点．若 $x_{1}<x_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

11．函数 $f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 的最小值、最大值分别为（ ）

20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{1}{x}-(a+1) \ln x$ ．
（1）当 $a=0$ 时，求 $f(x)$ 的最大值；
（2）若 $f(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

20．已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=e^{x}-a \sin x, g(x)=b \sqrt{x}$
（1）求函数 $y=f(x)$ 在 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（2）若 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 有公共点，
（i）当 $a=0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
（ii）求证：$a^{2}+b^{2}>\mathrm{e}$ ．

8．已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 $36 \pi$ ，且 $3 \leq l \leq 3 \sqrt{3}$ ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）

10．已知函数 $f(x)=x^{3}-x+1$ ，则（ ）

12．已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$ ，记 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，若 $f\left(\frac{3}{2}-2 x\right)$ ， $g(2+x)$ 均为偶函数，则（ ）

15．若曲线 $y=(x+a) \mathrm{e}^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是
$\_\_\_\_$ ．

22．已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$ 和 $g(x)=a x-\ln x$ 有相同的最小值．
（1）求 $a$ ；
（2）证明：存在直线 $y=b$ ，其与两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。

14．曲线 $y=\ln |x|$ 过坐标原点的两条切线的方程为 $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ．

15．已知函数 $f(x)=|\lg x|-k x-2$ ，给出下列四个结论：
①若 $k=0$ ，则 $f(x)$ 有两个零点；
②$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有一个零点；
③$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点；
④$\exists k>0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点。
以上正确结论得序号是 $\_\_\_\_$ ．

19．已知函数 $f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}+a}$ ．
（1）若 $a=0$ ，求 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处切线方程；
（2）若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．

13．曲线 $y=\frac{2 x-1}{x+2}$ 在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

20．设函数 $f(x)=a^{2} x^{2}+a x-3 \ln x+1$ ，其中 $a>0$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点，求 $a$ 的取值范围．

20．设函数 $f(x)=\ln (a-x)$ ，已知 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点．

（1）求 $a$ ；
②设函数 $g(x)=\frac{x+f(x)}{x f(x)}$ ．证明：$g(x)<1$ ．

7．若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的两条切线，则（ ）

15．函数 $f(x)=|2 x-1|-2 \ln x$ 的最小值为

14．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的函数 $f(x)$ ：
（1）$f\left(x_{1} x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)$ ；
（2）当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；
③$f^{\prime}(x)$ 是奇函数．

16.

已知函数 $f(x)=\left|e^{x}-1\right|, x_{1}<0, x_{2}>0$ ，函数 $f(x)$ 的图象在点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 和点 $B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的两条切线互相垂直，且分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $\frac{|A M|}{|B N|}$ 取值范围是

7．已知函数 $f(x)=x^{2}+\frac{1}{4}, g(x)=\sin x$ ，则图象为如图的函数可能是（ ）

22．设 $a, b$ 为实数，且 $a>1$ ，函数 $f(x)=a^{x}-b x+e^{2}(x \in \mathrm{R})$
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若对任意 $b>2 e^{2}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a=e$ 时，证明：对任意 $b>e^{4}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $x_{2}>\frac{b \ln b}{2 e^{2}} x_{1}+\frac{e^{2}}{b}$ ．
（注：$e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）

21．已知非空集合 $A \subseteq \mathbf{R}$ ，函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$ ，若对任意 $t \in A$ 且 $x \in D$ ，不等式 $f(x) \leq f(x+t)$ 恒成立，则称函数 $f(x)$ 具有 $A$ 性质．
①当 $A=\{-1\}$ ，判断 $f(x)=-x , g(x)=2 x$ 是否具有 $A$ 性质；
②当 $A=(0,1), f(x)=x+\frac{1}{x}, x \in[a,+\infty)$ ，若 $f(x)$ 具有 $A$ 性质，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $A=\{-2, m\}, ~ m \in \mathbf{Z}$ ，若 $D$ 为整数集且具有 $A$ 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 $m$ 的值．