导数的概念和几何意义　·　历年高考数学真题与解析

13．若曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切线，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

6．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+2 \sin x}{1+x^{2}}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

7．曲线 $f(x)=x^{6}+3 x-1$ 在 $(0,-1)$ 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）

20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线方程．
（2）若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．

21．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）是否存在 $a, b$ ，使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$ 关于直线 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 对称，若存在，求 $a, b$ 的值，若不存在，说明

理由。
（3）若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．

8．曲线 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}$ 在点 $\left(1, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ 处的切线方程为（ ）

14．曲线 $y=\ln |x|$ 过坐标原点的两条切线的方程为 $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ．

20．已知函数 $f(x)=x^{3}-x, g(x)=x^{2}+a$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线也是曲线 $y=g(x)$ 的切线．
（1）若 $x_{1}=-1$ ，求 $a$ ；
（2）求 $a$ 的取值范围．

20．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x} \ln (1+x)$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
②设 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，讨论函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的单调性；
（3）证明：对任意的 $s, t \in(0,+\infty)$ ，有 $f(s+t)>f(s)+f(t)$ ．

15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量 $W$ 与时间 $t$ 的关系为 $W=f(t)$ ，用 $-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的大小评价在 $[a, b]$ 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．

给出下列四个结论：
①在 $\left[t_{1}, t_{2}\right]$ 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 $t_{2}$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 $t_{3}$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 $\left[0, t_{1}\right],\left[t_{1}, t_{2}\right],\left[t_{2}, t_{3}\right]$ 这三段时间中，在 $\left[0, t_{1}\right]$ 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．

15．曲线 $y=\ln x+x+1$ 的一条切线的斜率为 2 ，则该切线的方程为

19．已知函数 $f(x)=12-x^{2}$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率等于 -2 的切线方程；

（II）设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t, f(t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最小值．

21．设函数 $f(x)=x^{3}+b x+c$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, f\left(\frac{1}{2}\right)\right)$ 处的切线与 $y$ 轴垂直．
（1）求 $b$ ．
（2）若 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：$f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 1 ．

6．函数 $f(x)=x^{4}-2 x^{3}$ 的图像在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为

10．曲线 $y=2 \sin x+\cos x$ 在点 $(\pi,-1)$ 处的切线方程为

11．曲线 $y=\cos x-\frac{x}{2}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

11．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 在曲线 $y=\ln x$ 上，且该曲线在点 $A$ 处的切线经过点（－e，－ 1）（ $e$ 为自然对数的底数），则点 $A$ 的坐标是－

13．曲线 $y=3\left(x^{2}+x\right) \mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

13．曲线 $y=3\left(x^{2}+x\right) \mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

19．（13 分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}+x$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 1 的切线方程；
（II）当 $x \in[-2,4]$ 时，求证：$x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ ；
（III）设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|(a \in \mathbf{R})$ ，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M$ （a）．当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．

21．已知曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{2}, D$ ，为直线 $y=-\frac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ．
（1）证明：直线 $A B$ 过定点：
（2）若以 $E\left(0, \frac{5}{2}\right)$ 为圆心的圆与直线 $A B$ 相切，且切点为线段 $A B$ 的中点，求该圆的方程。

6．已知曲线 $y=a \mathrm{e}^{x}+x \ln x$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y=2 x+b$ ，则

7．已知曲线 $y=a \mathrm{e}^{x}+x \ln x$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y=2 x+b$ ，则

13．（5分）曲线 $\mathrm{y}=2 \ln \mathrm{x}$ 在点（ 1,0 ）处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $y=2 x-2$。

13．（5分）曲线 $y=2 \ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $y=2 x$。

14．（5分）曲线 $y=(a x+1) e^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线的斜率为 -2 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ －3

（20）（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\left(x-t_{3}\right)$ ，其中 $t_{1}, t_{2}, t_{3} \in \mathbf{R}$ ，且 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ 是公差为 $d$ 的等差数列．
（I）若 $t_{2}=0, d=1$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（II）若 $d=3$ ，求 $f(x)$ 的极值；
（III）若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=-\left(x_{1}-t_{2}\right)-6 \sqrt{3}$ 有三个互异的公共点，求 $d$ 的取值范围．

5．（5分）设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$ ．若 $f(x)$ 为奇函数，则曲线 $y=f(x$ ）在点（ 0,0 ）处的切线方程为（ ）

6．（5分）设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$ ．若 $f(x)$ 为奇函数，则曲线 $y=f(x$ ）在点（ 0,0 ）处的切线方程为

10．（5分）已知 $a \in R$ ，设函数 $f(x)=a x-\ln x$ 的图象在点（1，$f(1)$ ）处的切线为 1 ，则 1 在 $y$ 轴上的截距为 $\_\_\_\_$。

14．（5分）曲线 $y=x^{2}+\frac{1}{x}$ 在点（1，2）处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $x-y+1=0$。

20．（13分）已知函数 $f(x)=x^{2}+2 \cos x, g(x)=e^{x}(\cos x-\sin x+2 x-2)$ ，其中 $\mathrm{e} \approx 2.17828 \ldots$ 是自然对数的底数．

（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $\pi, f(\pi)$ ）处的切线方程；
（II）令 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{g}$
（x）－a
$f(x)(a \in R)$ ，讨论 $h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

20．（12分）设 $A$ ，$B$ 为曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ 上两点，$A$ 与 $B$ 的横坐标之和为 4 ．
（1）求直线 AB 的斜率；
②设 $M$ 为曲线 $C$ 上一点，$C$ 在 $M$ 处的切线与直线 $A B$ 平行，且 $A M \perp B M$ ，求直线 $A B$ 的方程．

10．设直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别是函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\ln x, 01,\end{array}\right.$ 图象上点 $P_{1}, P_{2}$ 处的切线，$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直相交于点 $P$ ，且 $l_{1}, l_{2}$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A, B$ ，则 $\triangle P A B$ 的面积的取值范围是

10．（5 分）（2016 •山东）若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是

15．（5分）已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x<0$ 时，$f(x)=\ln (-x)+3 x$ ，则曲线 $y=f$ （x）在点 $(1,-3)$ 处的切线方程是 $\quad 2 x+y+1=0$ ．

16．（5分）已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x \leq 0$ 时，$f(x)=e^{-x-1}-x$ ，则曲线 $y=f(x)$在点 $(1,2)$ 处的切线方程是 $\_\_\_\_$ $y=2 x$ ．

16．（5分）若直线 $y=k x+b$ 是曲线 $y=\ln x+2$ 的切线，也是曲线 $y=\ln (x+1)$ 的切线

，则 $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

18．（13 分）设函数 $f(x)=x e^{a-x}+b x$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $y=(e-1) x+4$ ，
（I）求 a ， b 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间。

21．（14 分）（2016 • 山东）平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线 $\mathrm{E}: \mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{y}$ 的焦点 F 是 C 的一个顶点．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 1 与 C 交与不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M．
（i）求证：点 $M$ 在定直线上；
（ii）直线 $l$ 与 y 轴交于点 G，记 $\triangle \mathrm{PFG}$ 的面积为 $\mathrm{S}_{1}, \triangle \mathrm{PDM}$ 的面积为 $\mathrm{S}_{2}$，求 $\frac{\mathrm{S}_{1}}{\mathrm{~S}_{2}}$ 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标．

## 2016年山东省高考数学试卷（理科）

9．设直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别是函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\ln x, 01,\end{array}\right.$ 图象上点 $P_{1}, P_{2}$ 处的切线，$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直相交于点 $P$ ，且 $l_{1}, l_{2}$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A, B$ ，则 $\triangle P A B$ 的面积的取值范围是

15．设曲线 $y=e^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为 $\_\_\_\_$ ．

15．函数 $y=x e^{x}$ 在其极值点处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

16．（3分）已知曲线 $y=x+\ln x$ 在点（1，1）处的切线与曲线 $y=a x^{2}+(a+2) x+1$ 相切，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ 8 ．

（18）（本小题满 分 12 分）
设 $n \in N^{*}, x_{n}$ 是曲线 $y=x^{2 n+2}+1$ 在点 $(1,2)$ 处的切线与 x 轴交点的横坐标．
（I）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $T_{n}=x_{1}^{2} x_{3}^{2} \cdots x_{2 n-1}^{2}$，证明 $T_{n} \geq \frac{1}{4 n}$．

20．（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ 与直线 $l: y=k x+a(a>0)$ 交于 $M, N$ 两点．
（I）当 $\mathrm{k}=\mathrm{O}$ 时，分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程．
（II） y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 $\angle O P M=\angle O P N$ ？（说明理由）

21．（12分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{ax}+\frac{1}{4}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=-\ln \mathrm{x}$
（i）当 $a$ 为何值时，$x$ 轴为曲线 $y=f$（ $x$ ）的切线；
（ii）用 $\min \{\mathrm{m}, \mathrm{n}\}$ 表示 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 中的最小值，设函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\min \{\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{g}(\mathrm{x})\} (x>0)$ ，讨论 $h(x)$ 零点的个数．

10．曲线 $y=e^{-5 x}+2$ 在点 $(0,3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

11．曲线 $y=5 e^{x}+3$ 在点 $(0,-2)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

11．若曲线 $y=x \ln x$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2 x-y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标是 $\_\_\_\_$ ．

11.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若曲线 $y=a x^{2}+\frac{b}{x}$（ $a, b$ 为常数） zxxk过点 $P(2,-5)$ ，且该曲线在点 $P$ 处的切线与直线 $7 x+2 y+3=0$ 平行，则 $a+b$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

13．若曲线 $y=e^{-x}$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2 x+y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标是 $\_\_\_\_$ ．

19．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$，点 $\left(a_{n}, b_{n}\right)$ 在函数 $f(x)=2^{x}$ 的图象上 $\left(n \in N^{*}\right)$．
（1）证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）若 $a_{1}=1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\left\{a_{n} b_{n}^{2}\right\}$的前 $n$ 项和 $S_{n}$．

21．（12分）设函数 $f(x)=a \ln x+\frac{1-a}{2} x^{2}-b x(a \neq 1)$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点（ $1, f$
（1））处的切线斜率为 0 ，
（1）求 b ；
（2）若存在 $x_{0} \geq 1$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)<\frac{a}{a-1}$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．（（本小题满分 12 分）
已知曲线 $\Gamma$ 上的点到点 $F(0,1)$ 的距离比它到直线 $y=-3$ 的距离小 2．
（1）求曲线 $\Gamma$ 的方程；
（2）曲线 $\Gamma$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$．直线 $y=3$ 分别与直线 $l$ 及 $y$ 轴交于点 $M, N$，以 $M N$ 为

直径作圆 $C$，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $B$，试探究：当点 $P$ 在曲线 $\Gamma$ 上运动（点 $P$ 与原点不重合）时，线段 $A B$ 的长度是否发生变化？证明你的结论．

7．（5分）曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}-1}$ 在点 $(1,1)$ 处切线的斜率等于（ ）

8．（5分）设曲线 $y=a x-\ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=2 x$ ，则 $a=$（

10．（5分）已知曲线 $y=x^{4}+a x^{2}+1$ 在点（ $-1, a+2$ ）处切线的斜率为 $8, a=$（

10．（5分）（2013•广东）若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\ln \mathrm{x}$ 在点 $(1, \mathrm{k})$ 处的切线平行于 x 轴，则 $\mathrm{k}=$ $\_\_\_\_$ ．

12．（2013广东，文12）若曲线 $y=a x^{2}-\ln x$ 在 $(1, a)$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

（17）（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
设 $f(x)=a(x-5)^{2}+6 \ln x$ ，其中 $a \in R$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f①)$ 处的切线与 $y$ 轴相较于点（ 0,6 ）．（I）确定 $a$ 的值；（II）求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值．

20．（本小题满分 13 分）已知三点 $O(0,0), A(-2,1), B(2,1)$ ，曲线上一点 $M(x, y)$ 满足
$|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}|=\overrightarrow{O M} \cdot(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})+2$（1）求曲线 $C$ 的方程（2）点 $Q\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(-2

12．曲线 $y=x^{3}-x+3$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）曲线 $y=x(3 \ln x+1)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $y=4 x-3$ ．

（17）（本小题满分 12 分）。
设定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)=a x+\frac{1}{a x}+b(a>0)$
（I）求 $f(x)$ 的最小值；
（II）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=\frac{3}{2} x$ ，求 $a, b$ 的值。

11．在抛物线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}-5(\mathrm{a} \neq 0)$ 上取横坐标为 $\mathrm{x}_{1}=4, \mathrm{x}_{2}=2$ 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 $5 x^{2}+5 y^{2}=36$ 相切，则

19．（本小题满分 12 分）
如图，从点 $P_{1}(0,0)$ 做 x 轴的垂线交曲线 $y=e^{x}$ 于点 $Q_{1}(0,1)$ ，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 x 轴交于点 $P_{2}$ ，再从 $P_{2}$ 做x轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点：
$P_{1}, Q_{1} ; P_{2}, Q_{2} \ldots \ldots ; P_{n}, Q_{n}$ ，记 $P_{k}$ 点的坐标为 $\left(x_{k}, 0\right)(k=1,2, \ldots, n)$ ．
（I）试求 $x_{1}$ 与 $x_{k-1}$ 的关系 $(2 \leq k \leq n)$
（II）求 $\left|P_{1} Q_{1}\right|+\left|P_{2} Q_{2}\right|+\left|P_{3} Q_{3}\right|+\ldots+\left|P_{n} Q_{n}\right|$ ．

19．（12分）（2011•陕西）如图，从点 $\mathrm{P}_{1}(0,0)$ 做 x 轴的垂线交曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 于点 $\mathrm{Q}_{1}(0,1$ ），曲线在 $\mathrm{Q}_{1}$ 点处的切线与 x 轴交于点 $\mathrm{P}_{2}$ ，再从 $\mathrm{P}_{2}$ 做 x 轴的垂线交曲线于点 $\mathrm{Q}_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{Q}_{1} ; \mathrm{P}_{2}, \mathrm{Q}_{2} \ldots ; \mathrm{P}_{\mathrm{n}}, \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}$ ，记 $\mathrm{P}_{\mathrm{k}}$ 点的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}}, 0\right)(\mathrm{k}=1,2$ ， …，n）。
（I）试求 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}}$ 与 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}-1}$ 的关系（ $2 \leq \mathrm{k} \leq \mathrm{n}$ ）；
（II）求 $\left|\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}\right|+\left|\mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2}\right|+\left|\mathrm{P}_{3} \mathrm{Q}_{3}\right|+\ldots+\left|\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}\right|$ 。

19．（本小题满分14分）已知函数 $f(x)=4 x^{3}+3 t x^{2}-6 t x+t-1, x \in R$ ，其中 $t \in R$ ．
（I）当 $t=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（II）当 $t \neq 0$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；

（III）证明：对任意的 $t \in(0,+\infty), f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内均存在零点．

20．（12分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 $\mathrm{A}(0,-1)$ ， B 点在直线 $\mathrm{y}=-3$上，$M$ 点满足 $\overrightarrow{M B} \| \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{M B} \cdot \overrightarrow{B A}, M$ 点的轨迹为曲线 $C$ 。
（I）求C的方程；
（II） P 为 C 上的动点， I 为 C 在 P 点处的切线，求 O 点到 I 距离的最小值．

7．曲线 $y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2}$ 在点 $\mathrm{M}\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 处的切线的斜路为

4．曲线 $y=e^{x}$ 在点 $\mathrm{A}(0,1)$ 处的切线斜率为

8．（5分）曲线 $y=e^{-2 x}+1$ 在点（ 0,2 ）处的切线与直线 $y=0$ 和 $y=x$ 围成的三角形的面积为（ ）

10．（5分）若曲线 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 在点（ $a, a^{-\frac{1}{2}}$ ）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 ，则 $\mathrm{a}=$（ ）

21．（本小题满分 14 分）
已知曲线 $C_{n}: y=n x^{2}$ ，点 $P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)\left(x_{n}>0, y_{n}>0\right)$ 是曲线 $C_{n}$ 上的点 $(n=1,2, \ldots)$ ，
（1）试写出曲线 $C_{n}$ 在 $P_{n}$ 点处的切线 $l_{n}$ 的方程，并求出 $l_{n}$ 与 $y$ 轴的交点 $Q_{n}$ 的坐标；
（2）若原点 $O(0,0)$ 到 $l_{n}$ 的距离与线段 $P_{n} Q_{n}$ 的长度之比取得最大值，试求点 $P_{n}$ 的坐标 $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ；
③设 $m$ 与 $k$ 为两个给定的不同的正整数，$x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是满足（2）中条件的点 $P_{n}$ 的坐标，

证明：$\sum_{n=1}^{s}\left|\sqrt{\frac{(m+1) x_{n}}{2}}-\sqrt{(k+1) y_{n}}\right|<|\sqrt{m s}-\sqrt{k s}|(s=1,2, \ldots)$ ．

（4）曲线 $\mathrm{y}=x^{2}-2 x+1$ 在点（ 1,0 ）处的切线方程为

7．（5分）若曲线 $y=x^{2}+a x+b$ 在点（1，b）处的切线方程是 $x-y+1=0$ ，则

12．（5 分）（2009•陕西）设曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 在点（1，1）处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值为（ ）

（13）曲线 $y=x e^{x}+2 x+1$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

16．（4分）（2009•陕西）设曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 在点（1，1）处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值为一 $\frac{1}{\mathrm{n}+1}$ —。

（20）（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=x^{3}+2 b x^{2}+c x-2$ 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 $y=5 x-10$ ．

（I）求函数 $f(x)$ 的解析式；
（II）设函数 $g(x)=f(x)+\frac{1}{3} m x$ ，若 $\mathrm{g}(x)$ 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 $g(x)$ 取得极值时对应的自变量 x 的值．．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{4}-3 x^{2}+6$ ．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）设点 P 在曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 上，若该曲线在点 P 处的切线 I 通过坐标原点，求 I 的方程。

4．（5分）函数 $y=\frac{x}{2 x-1}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为（ ）

5．设函数 $f(x)=g(x)+x^{2}$ ，曲线 $y=g(x)$ 在点 $(1, g(1))$ 处的切线方程为 $y=2 x+1$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处切线的斜率为

（7）曲线 $\mathrm{y}=\frac{x}{x-2}$ 在点 $(1,-1)$ 处的切线方程为

（13）如图，函数 $f(x)$ 的图象是折线段 $A B C$ ，其中 $A, B, C$ 的坐标分别为 $(0,4),(2,0),(6,4$ ），则 $f(f(0))=$ $\_\_\_\_$ ；函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数 $f^{\prime} \quad(1)=$ －

14．（5分）设曲线 $y=e^{a x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与直线 $x+2 y+1=0$ 垂直，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 2

21、（本小题满分 12 分）设函数 $f(x)=a x-\frac{b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $7 x-4 y-12=0$ 。（1）求 $y=f(x)$ 的解析式；（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 上任一点处的切线与直线 $x=0$ 和直线 $y=x$ 所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

4．（5分）曲线 $y=x^{3}-2 x+4$ 在点（1，3）处的切线的倾斜角为

6．设 $P$ 为曲线 $C: y=x^{2}+2 x+3$ 上的点，且曲线 $C$ 在点 $P$ 处切线倾斜角的取值范围为 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ ，则点 $P$ 横坐标的取值范围为

7．（5分）设曲线 $y=a x^{2}$ 在点 $(1, a)$ 处的切线与直线 $2 x-y-6=0$ 平行，则 $a=$（

7．（5分）已知曲线 $y=\frac{x+1}{x-1}$ 在点 $(3,2)$ 处的切线与直线 $a x+y+1=0$ 垂直，则 $a$ 的值为（）