（本小题满分 12 分） 如图，动点 M 到两定点 A(-…——2012 高考数学第 21 题答案解析

解：①设 $M$ 的坐标为（ $x, y$ ），显然有 $x>0$ ，且 $y \neq 0$ ．
当 $\angle M B A=90^{\circ}$ 时，点 M 的坐标为 $(2, \pm 3)$ ．
当 $\angle M B A \neq 90^{\circ}$ 时，$x \neq 2$ ，由 $\angle M B A=2 \angle M A B$ ，有 $\tan \angle M B A=\frac{2 \tan \angle M A B}{1-\tan ^{2} \angle M A B}$
即 $-\frac{|y|}{x-2}=\frac{2 \frac{|y|}{x+1}}{1-\left(\frac{|y|}{x+1}\right)^{2}}$ ．
化简可得， $3 x^{2}-y^{2}-3=0$ ．
而点 $(2, \pm 3)$ 在曲线 $3 x^{2}-y^{2}-3=0$ 上，
综上可知，轨迹 C 的方程为 $3 x^{2}-y^{2}-3=0(\mathrm{x}>1)$ ．
> ②由 $\left\{\begin{array}{c}y=-2 x+m \\ 3 x^{2}-y^{2}-3=0\end{array}\right.$ 消去 y ，可得 $x^{2}-4 m x+m^{2}+3=0$ ．

由题意，方程（＊）有两根且均在 $(1,+\infty)$ 内。

设 $f(x)=x^{2}-4 m x+m^{2}+3$
所以 $\left\{\begin{array}{c}-\frac{-4 m}{2}>1 \\ f(1)=1^{2}-4 m+m^{2}+3>0 \\ \Delta=(-4 m)^{2}-4\left(m^{2}+3\right)>0\end{array}\right.$
解得，$m>1$ ，且 $m \neq 2$ ．

设 $\mathrm{Q}, \mathrm{R}$ 的坐标分别为 $\left(x_{Q}, y_{Q}\right),\left(x_{R}, y_{R}\right)$ ，
由 $|P Q|<P R \mid$ 有 $x_{R}=2 m+\sqrt{3\left(m^{2}-1\right)}, x_{Q}=2 m-\sqrt{3\left(m^{2}-1\right)}$
所以 $\frac{|P R|}{|P Q|}=\frac{x_{R}}{x_{Q}}=\frac{2 m+\sqrt{3\left(m^{2}-1\right)}}{2 m-\sqrt{3\left(m^{2}-1\right)}}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{2+\sqrt{3\left(1-\frac{1}{m^{2}}\right)}}{2-\sqrt{3\left(1-\frac{1}{m^{2}}\right)}} \\ & =-1+\frac{4}{2-\sqrt{3\left(1-\frac{1}{m^{2}}\right)}} \end{aligned} $$

由 $m>1$ ，且 $m \neq 2$ ，有 $1<-1+\frac{4}{2-\sqrt{3\left(1-\frac{1}{m^{2}}\right)}}<7+4 \sqrt{3}$ 且 $-1+\frac{4}{2-\sqrt{3\left(1-\frac{1}{m^{2}}\right)}} \neq 7$
所以 $\frac{|P R|}{|P Q|}$ 的取值范围是 $(1,7) \cup(7,7+4 \sqrt{3})$ ．
考点定位：本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函数、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性。