（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点， 0 与 A…——2015 高考数学第 22 题答案解析

(1) 证明：
因为 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，且 $AD \perp BC$，所以 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线。
又因为圆 $O$ 与 $AB, AC$ 分别相切于点 $E, F$，根据切线长定理可知 $AE = AF$。
在等腰 $\triangle AEF$ 中，$AD$ 平分顶角 $\angle EAF$，故 $AD \perp EF$。
因为 $AD \perp BC$ 且 $AD \perp EF$，所以 $EF \parallel BC$。

(2) 解：
由 (1) 知 $AD$ 垂直平分 $EF$，且圆心 $O$ 必在 $\angle BAC$ 的平分线 $AD$ 上。
连接 $OE, OM$。因为 $AB$ 切圆 $O$ 于 $E$，所以 $OE \perp AB$，即 $\triangle AEO$ 为直角三角形。
设圆 $O$ 的半径为 $r$，则 $OE = r$。
已知 $AG = r$，且 $G$ 在圆上，故 $OG = r$。
因为 $A, G, O$ 共线且 $G$ 在 $A, O$ 之间（由图及几何关系可知），所以 $AO = AG + GO = 2r$。
在 Rt$\triangle AEO$ 中，$\sin \angle OAE = \frac{OE}{AO} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$，
所以 $\angle OAE = 30^\circ$，即 $\angle BAD = 30^\circ$。
从而 $\angle BAC = 60^\circ$。因为 $\triangle ABC$ 是等腰三角形，所以 $\triangle ABC$ 是等边三角形。
同理，$\triangle AEF$ 也是等边三角形。

已知 $AE = 2\sqrt{3}$，则 $EF = AE = 2\sqrt{3}$。
在 Rt$\triangle AEO$ 中，$AO = \frac{AE}{\cos 30^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$，
所以半径 $r = OE = \frac{1}{2} AO = 2$。

连接 $OM$。因为 $AD \perp BC$，所以 $D$ 为弦 $MN$ 的中点。
已知 $MN = 2\sqrt{3}$，则 $DM = \sqrt{3}$。
在 Rt$\triangle ODM$ 中，$OD = \sqrt{OM^2 - DM^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4-3} = 1$。
所以 $\triangle ABC$ 的高 $AD = AO + OD = 4 + 1 = 5$。

因为 $\triangle ABC$ 是等边三角形，高 $AD = 5$，
所以边长 $BC = \frac{AD}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$。
$\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \times \frac{10\sqrt{3}}{3} \times 5 = \frac{25\sqrt{3}}{3}$。
$\triangle AEF$ 的面积 $S_{\triangle AEF} = \frac{\sqrt{3}}{4} AE^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 = 3\sqrt{3}$。

四边形 $EBCF$ 的面积 $S = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AEF} = \frac{25\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3} - 9\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$。