（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点， 0 与 A…——2015 高考数学第 22 题答案解析

【考点】N4：相似三角形的判定

【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离

【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；

（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则 ${ \tt O E \bot A E }$ ，利用 $S _ { \Delta A B C }$ $- S \_ A E F$ 计算即可

【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形， $A D \bot B C$

∴AD是∠CAB的角平分线，

又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，

∴AE=AF，∴AD⊥EF，

∴EF∥BC；

（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，

又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，

连结OE、OM，则OE⊥AE，

由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，

∴∠OAE=30°， $\therefore \triangle A B C .$ 与 $\triangle \mathsf { A E F }$ 都是等边三角形，

$$ \because A E = 2 \sqrt { 3 } , \therefore A O = 4 , O E = 2 , $$

$\because O M = O E = 2$ $D M = \frac { 1 } { 2 } M N = \sqrt { 3 } , ~ \therefore O D = 1$

∴AD=5， $A B = \frac { 1 0 \sqrt { 3 } } { 3 }$

∴四边形EBCF的面积为 $\frac { 1 } { 2 } \times ( \frac { 1 0 \sqrt { 3 } } { 3 } ) ^ { 2 } \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \times ( 2 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = \frac { 1 6 \sqrt { 3 } } { 3 } .$

【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题

五、选修4-4：坐标系与参数方程