若 α ( 0 , π 2 ) , tan 2 α = c…——2021 高考数学第 9 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】由二倍角公式可得 $\tan 2 \alpha = { \frac { \sin 2 \alpha } { \cos 2 \alpha } } = { \frac { 2 \sin \alpha \cos \alpha } { 1 - 2 \sin ^ { 2 } \alpha } }$ ，再结合已知可求得 $\sin \alpha = \frac { 1 } { 4 }$ ，利用同角三

角函数的基本关系即可求解.

【详解】 $\because \tan 2 \alpha = { \frac { \cos \alpha } { 2 - \sin \alpha } }$
$\therefore \tan 2 \alpha = { \frac { \sin 2 \alpha } { \cos 2 \alpha } } = { \frac { 2 \sin \alpha \cos \alpha } { 1 - 2 \sin ^ { 2 } \alpha } } = { \frac { \cos \alpha } { 2 - \sin \alpha } }$
$\because \alpha \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ $\cos \alpha \neq 0$ ， \ ${ \frac { 2 \sin \alpha } { 1 - 2 \sin ^ { 2 } \alpha } } = { \frac { 1 } { 2 - \sin \alpha } }$ ，解得 $\sin \alpha = \frac { 1 } { 4 }$
$\therefore \cos \alpha = { \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } \alpha } } = { \frac { \sqrt { 1 5 } } { 4 } }$ ， tan\ $\alpha = \frac { \sin \alpha } { \cos \alpha } = \frac { \sqrt { 1 5 } } { 1 5 }$

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina.