（本小题满分 13 分，（I）小问 8 分，（II）小问…——2012 高考数学第 18 题答案解析

【答案】：（I ）$[1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}]$（II）$\frac{1}{6}$
【解析】：：（I ）$f(x)=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \omega x+\frac{1}{2} \sin \omega x\right) \sin \omega x+\cos 2 \omega x =2 \sqrt{3} \sin \omega x \cos \omega x+2 \sin ^{2} \omega x+\cos ^{2} \omega x-\sin ^{2} \omega x=\sqrt{3} \sin 2 \omega x+1$

因 $-1 \leq \sin 2 \omega x \leq 1$ ，所以函数 $y=f(x)$ 的值域为 $[1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}]$
（II）因 $y=\sin x$ 在每个闭区间 $\left[2 k \pi-\frac{\pi}{2}, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right] \quad(k \in Z)$ 上为增函数，故 $f(x)=\sqrt{3} \sin 2 \omega x+1 \quad(\omega>0)$ 在每个闭区间 $\left[\frac{k \pi}{\omega}-\frac{\pi}{4 \omega}, \frac{k \pi}{\omega}+\frac{\pi}{4 \omega}\right] \quad(k \in Z)$ 上为增函数

依题意知 $\left[-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \subseteq\left[\frac{k \pi}{\omega}-\frac{\pi}{4 \omega}, \frac{k \pi}{\omega}+\frac{\pi}{4 \omega}\right]$ 对某个 $k \in Z \quad$ 成立，此时必有 $k=0 \quad$ 于是 $\left\{\begin{array}{c}-\frac{3 \pi}{2} \geq-\frac{\pi}{4 \omega} \\ \frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{4 \omega}\end{array}\right.$ 解得 $\omega \leq \frac{1}{6}$ ，故 $\omega$ 的最大值为 $\frac{1}{6}$

【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线，三角函数的性质为考查目的一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．由正弦函数的单调性结合条件可列 $\left\{\begin{array}{c}-\frac{3 \pi}{2} \geq-\frac{\pi}{4 \omega} \\ \frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{4 \omega}\end{array}\right.$ ，以

而解得 $\omega$ 的取值范围，即可得 $\omega$ 的最大值．