若 a > 0 , b > 0，则 1 a + a b ^…——2021 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $2 \sqrt { 2 }$

【解析】

【分析】两次利用基本不等式即可求出.

【详解】 $\because a > 0 , b > 0$

$$ \therefore { \frac { 1 } { a } } + { \frac { a } { b ^ { 2 } } } + b \geq 2 { \sqrt { { \frac { 1 } { a } } \cdot { \frac { a } { b ^ { 2 } } } } } + b = { \frac { 2 } { b } } + b \geq 2 { \sqrt { { \frac { 2 } { b } } \cdot b } } = 2 { \sqrt { 2 } } $$

当且仅当 ${ \frac { 1 } { a } } = { \frac { a } { b ^ { 2 } } }$ 且 ${ \frac { 2 } { b } } = b$ ，即 $a \ = \ b \ = \ { \sqrt { 2 } }$ 时等号成立，

所以 $\frac { 1 } { a } + \frac { a } { b ^ { 2 } } + b$ 的最小值为 $2 \sqrt { 2 }$

故答案为： $2 \sqrt { 2 }$