15．（2009浙江理15）观察下列等式：
$$ C _ { 5 } ^ { 1 } + C _ { 5 } ^ { 5 } = 2 ^ { 3 } - 2 , $$
$$ C _ { 9 } ^ { 1 } + C _ { 9 } ^ { 5 } + C _ { 9 } ^ { 9 } = 2 ^ { 7 } + 2 ^ { 3 } , $$
$$ C _ { 1 3 } ^ { 1 } + C _ { 1 3 } ^ { 5 } + C _ { 1 3 } ^ { 9 } + C _ { 1 3 } ^ { 1 3 } = 2 ^ { 1 1 } - 2 ^ { 5 } , $$
$$ C _ { 1 7 } ^ { 1 } + C _ { 1 7 } ^ { 5 } + C _ { 1 7 } ^ { 9 } + C _ { 1 7 } ^ { 1 3 } + C _ { 1 7 } ^ { 1 7 } = 2 ^ { 1 5 } + 2 ^ { 7 } , $$
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由以上等式推测到一个一般的结论：
对于 $\cdot n \in N ^ { * } , \enspace C _ { 4 n + 1 } ^ { 1 } + C _ { 4 n + 1 } ^ { 5 } + C _ { 4 n + 1 } ^ { 9 } + \cdots + C _ { 4 n + 1 } ^ { 4 n + 1 } =$
$2 ^ { 4 n - 1 } + \left( - 1 \right) ^ { n } 2 ^ { 2 n - 1 }$ 【解题关键点】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 $\left( - 1 \right) ^ { n }$ ，二项指数分别为 $2 ^ { 4 n - 1 } , 2 ^ { 2 n - 1 }$ ，因此对于 $n \in N ^ { * } , C _ { 4 n + 1 } ^ { 1 } + C _ { 4 n + 1 } ^ { 5 } + C _ { 4 n + 1 } ^ { 9 } + \cdots + C _ { 4 n + 1 } ^ { 4 n + 1 } = 2 ^ { 4 n - 1 } + \left( - 1 \right) ^ { n } 2 ^ { 2 n - 1 }$