（本小题满分 12 分）已知数列 a_ n 的前 n 项和…——2012 高考数学第 20 题答案解析

解：①取 $\mathrm{n}=1$ ，得 $a_{2} a_{1}=S_{2}+S_{1}=2 a_{1}+a_{2}$

$$ \text { 取 } \mathrm{n}=2 \text {, 得 } a_{2}^{2}=2 a_{1}+2 a_{2} $$

由②－①，得 $a_{2}\left(a_{2}-a_{1}\right)=a_{2}$

若 $a_{2}=0$ ，由①知 $a_{1}=0$ ；
若 $a_{2} \neq 0$ ，由（3）知 $a_{2}-a_{1}=1$ ．

由①，（4）解得，$a_{1}=\sqrt{2}+1, a_{2}=\sqrt{2}+2$ ；或 $a_{1}=1-\sqrt{2}, a_{2}=2-\sqrt{2}$ ．

综上可得，$a_{1}=0, a_{2}=0$ ；或 $a_{1}=\sqrt{2}+1, a_{2}=\sqrt{2}+2$ ；或 $a_{1}=1-\sqrt{2}, a_{2}=2-\sqrt{2}$ ．
> ②当 $a_{1}>0$ 时，由①知 $a_{1}=\sqrt{2}+1, a_{2}=\sqrt{2}+2$ ．
当 $n \geq 2$ 时，有 $(\sqrt{2}+2) a_{n}=S_{2}+S_{n}, \quad(\sqrt{2}+2) a_{n-1}=S_{2}+S_{n-1}$ ，
所以 $(1+\sqrt{2}) a_{n}=(2+\sqrt{2}) a_{n-1}$ ，即 $a_{n}=\sqrt{2} a_{n-1} \quad(n \geq 2)$ ，
所以 $a_{n}=a_{1}(\sqrt{2})^{n-1}=(\sqrt{2}+1) \bullet(\sqrt{2})^{n-1}$ ．
令 $b_{n}=\lg \frac{10 a_{1}}{a_{n}}$ ，则 $b_{n}=1-\lg (\sqrt{2})^{n-1}=1-\frac{1}{2}(n-1) \lg 2=\frac{1}{2} \lg \frac{100}{2^{n-1}}$
所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是单调速减的等差数列（公差为 $-\frac{1}{2} \lg 2$ ），
从而 $b_{1}>b_{2}>\cdots>b_{7}=\lg \frac{10}{8}>\lg 1=0$
当 $n \geq 8$ 时，$\quad b_{n} \leq b_{8}=\frac{1}{2} \lg \frac{100}{128}<\frac{1}{2} \lg 1=0$ ，
故 $\mathrm{n}=7$ 时，$T_{n}$ 取得最大值，且 $T_{n}$ 的最大值为 $T_{7}=\frac{7\left(b_{1}+b_{7}\right)}{2}=\frac{7(1+1-3 \lg 2)}{2}=7-\frac{21}{2} \lg 2$ ．
考点定位：本小题考查等比数列、等差数列、对数等基础知识．考查思维能力、分析问题与解决问题的能力。考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想。