（本小题满分 14 分）已知函数 f(x)= (a x^…——2012 高考数学第 15 题答案解析

【答案】：（ I ）（ II ）
【解析】：（ I ）由 $f(0)=1, f(1)=0$ 得 $C=1, a+b=-1$

则 $f(x)=\left[a x^{2}-(a+1) x+1\right] e^{x}, f^{\prime}(x)=\left[a x^{2}+(a-1) x-a\right] e^{x}$ 依题意须对于任意 $x \in(0,1)$ ，有 $f^{\prime}(x)<0$ 当 $a>0$ 时，因为二次函数 $y=a x^{2}+(a-1) x-a$ 的图像开口向上，而 $f^{\prime}(0)=-a<0$ ，所以须 $f^{\prime}①=(a-1) e<0$ ，即 $0<a<1$

当 $a=1$ 时，对任意 $x \in(0,1)$ 有 $f^{\prime}(x)=\left(x^{2}-1\right) e^{x}<0, f(x)$ 符合条件；
当 $a=0$ 时，对于任意 $x \in(0,1), f^{\prime}(x)=-x e^{x}<0, f(x)$ 符合条件；
当 $a<0$ 时，因 $f^{\prime}(0)=-a>0, \quad f(x)$ 不符合条件，故 $a$ 的取值范围为 $0 \leq a \leq 1$
（ II ）因 $g(x)=(-2 a x+1) e^{x}, g^{\prime}(x)=(-2 a x+1-a) e^{x}$ ，
（i）当 $a=0$ 时，$g^{\prime}(x)=e^{x}>0, g(x)$ 在 $x=0$ 上取得最小值 $g(0)=1$ ，在 $x=1$ 上取得最大值 $g(1)=e$
（ii）当 $a=1$ 时，对于任意 $x \in(0,1)$ 有 $g^{\prime}(x)=-2 x e^{x}<0, g(x)$ 在 $x=0$ 取得最大值 $g(0)=2$ ，在 $x=1$ 取得最小值 $g(1)=0$
（iii）当 $0<a<1$ 时，由 $g^{\prime}(x)=0$ 得 $x>\frac{1-a}{2 a}>0$
（1）若 $\frac{1-a}{2 a} \geq 1$ ，即 $0<a \leq \frac{1}{3}$ 时，$g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，$g(x)$ 在 $x=0$ 取得最小值 $g(0)=1+a$ 在 $x=1$ 取得最大值 $g(1)=(1-a) e$
②若 $\frac{1-a}{2 a}<1$ ，即 $\frac{1}{3}<a<1$ 时，$g(x)$ 在 $x=\frac{1-a}{2 a}$ 取得最大值 $g\left(\frac{1-a}{2 a}\right)=2 a e^{\frac{1-a}{2 a}}$ ，
在 $x=0$ 或 $x=1$ 取得最小值，而 $g(0)=1+a, g(1)=(1-a) e$
则当 $\frac{1}{3}<a \leq \frac{e-1}{e+1}$ 时，$g(x)$ 在 $x=0$ 取得最小值 $g(0)=1+a$
当 $\frac{e-1}{e+1}<a<1 \quad$ 时，$\quad g(x)$ 在 $x=1$ 取得最小值 $g(1)=(1-a) e$