2009_北京卷 (2009·文)
19．（本小题共14分）
已知双曲线
$$ C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \text { 的离心率为 } \sqrt{3} \text {, 右准线方程为 } x=\frac{\sqrt{3}}{3} \text { 。 } $$
（I）求双曲线 C 的方程；
（II）已知直线 $x-y+m=0$ 与双曲线 C 交于不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，且线段 AB 的中点在圆 $x^{2}+y^{2}=5$ 上，求 m 的值
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力。
（I）由题意，得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{a^{2}}{c}=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{c}{a}=\sqrt{3}\end{array}\right.$ ，解得 $a=1, c=\sqrt{3}$ ，
$\therefore b^{2}=c^{2}-a^{2}=2, \therefore$ 所求双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$ ．
（II）设 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点的坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，线段 AB 的中点为 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}x-y+m=0 \\ x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1\end{array}\right.$ 得 $x^{2}-2 m x-m^{2}-2=0$（判别式 $\left.\Delta>0\right)$ ，
$\therefore \quad x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=m, y_{0}=x_{0}+m=2 m$ ，
∵ 点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=5$ 上，
$\therefore m^{2}+(2 m)^{2}=5, \quad \therefore m= \pm 1$.