2009 北京卷 · 文 数学

每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。
一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合 $A=\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{2}<x<2\right.\right\}, B=\left\{x \mid x^{2} \leq 1\right\}$ ，则 $A \cup B=$

用数字 $1,2,3,4,5$ 组成的无重复数字的四位偶数的个数为

＂$\alpha=\frac{\pi}{6}$＂是＂ $\cos 2 \alpha=\frac{1}{2}$＂的

若正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为 $1, A B_{1}$ 与底面 ABCD 成 $60^{\circ}$ 角，则 $A_{1} C_{1}$ 到底面 ABCD 的距离为

设D是正 $\Delta P_{1} P_{2} P_{3}$ 及其内部的点构成的集合，点 $P_{0}$ 是 $\Delta P_{1} P_{2} P_{3}$ 的中心，若集合
$S=\left\{P\left|P \in D,\left|P P_{0}\right| \leq\left|P P_{i}\right|, i=1,2,3\right\}\right.$ ，则集合 S 表示的平面区域是

若 $\sin \theta=-\frac{4}{5}, \tan \theta>0$ ，则 $\cos \theta=$

若实数 $x, y_{\text {满足 }}\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \geq 0, \\ x \leq 4, \\ x \leq 5,\end{array} \quad\right.$ 则 $s=x+y$ 的最大值为

椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 P 在椭圆上，若 $\left|P F_{1}\right|=4$ ，则 $\left|P F_{2}\right|=$ ； $\angle F_{1} P F_{2}$ 的大小为

设A是整数集的一个非空子集，对于 $k \in A$ ，如果 $k-1 \notin A$ 且 $k+1 \notin A$ ，那么称 $k$ 是 A 的一个＂孤立元＂，给定 $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8$,$\} ,由 \mathrm{S}$ 的 3 个元素构成的所有集合中，不含＂孤立元＂的集合共有 个。

（本小题共12分）
已知函数 $f(x)=2 \sin (\pi-x) \cos x$ ．
（I）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．

（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，遇到红灯时停留的时间都是 2 min 。
（I）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（II）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min 的概率

（本小题共14分）

设函数 $f(x)=x^{3}-3 a x+b(a \neq 0)$ ．
（I）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处与直线 $y=8$ 相切，求 $a, b$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值点．

（本小题共14分）

已知双曲线

$ C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \text { 的离心率为 } \sqrt{3} \text {, 右准线方程为 } x=\frac{\sqrt{3}}{3} \text { 。 } $

（I）求双曲线 C 的方程；
（II）已知直线 $x-y+m=0$ 与双曲线 C 交于不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，且线段 AB 的中点在圆 $x^{2}+y^{2}=5$ 上，求 m 的值

（本小题共13分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=p n+q\left(n \in N^{*}, P>0\right)$ 。数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 定义如下：对于正整数 m ，$b_{m}$ 是使得不等式 $a_{n} \geq m$ 成立的所有 n 中的最小值．
（I）若 $p=\frac{1}{2}, q=-\frac{1}{3}$ ，求 $b_{3}$ ；
（II）若 $p=2, q=-1$ ，求数列 $\left\{b_{m}\right\}$ 的前 2 m 项和公式；
（III）是否存在 p 和 q ，使得 $b_{m}=3 m+2\left(m \in N^{*}\right)$ ？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如果不存在，请说明理由。