（本小题满分 13 分） 设函数 f(x)= e^ x x…——2014 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
解：（ I ）$f^{\prime}(x)=\frac{e^{x} \cdot x^{2}-2 x e^{x}}{x^{4}}-k\left(-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x}\right)$

$$ =\frac{(x-2)\left(e^{x}-k x\right)}{x^{3}}(x>0) $$

当 $k \leq 0$ 时，$k x \leq 0, \therefore e^{x}-k x>0$
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，则 $x=2$
∴ 当 $x \in(0,2)$ 时，$f(x)$ 单调递减；
当 $x \in(2,+\infty)$ 时，$f(x)$ 单调递增．
（II）令 $g(x)=e^{x}-k x$

则 $g^{\prime}(x)=e^{x}-k$
当 $k \leq 0$ 时，$g^{\prime}(x)>0$ 恒成立，$\therefore g(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增，不符合题意．
当 $k>0$ 时
令 $g^{\prime}(x)=0, \therefore e^{x}=k, x=\ln k$
$\because g^{\prime}(0)=1-k<0, g(0)=1>0$
$g^{\prime}(2)=e^{2}-k>0, g(2)=e^{2}-2 k>0$
$\therefore k<\frac{e^{2}}{2}$
$g(\ln k)=e^{\ln k}-k \ln k<0$
$\therefore \ln k>1$
$\therefore k>e$
综上：$k$ 的取值范围为 $\left(e, \frac{e^{2}}{2}\right)$ ．