2012_daganji_old
22．（12分）已知抛物线C： $\forall \mathbf { \bar { \mathbf { \tau } } } \mathbf { \Psi } ( \mathbf { x } ^ { + } 1 )$ <sup>2</sup>与圆 $( \mathbf { x } - 1 ) ^ { 2 } + ( \mathbf { y } \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } = \mathbf { r } ^ { 2 } ( \mathbf { r } > 0 )$ 有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l 的距离
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合
【专题】15：综合题；16：压轴题
【分析】（Ⅰ）设 $\begin{array} { r l } { \mathsf { A } } & { { } ( \mathsf { x } _ { 0 } , ~ ( \mathsf { x } _ { 0 } { + } 1 ) ~ ^ { 2 } ) } \end{array}$ ，根据 $\mathsf { y } = \mathsf { \Omega } ( \mathsf { x } ^ { + } 1 ) \mathsf { \Omega } ^ { 2 }$ ，求出l的斜率，圆心M$( 1 , \ { \frac { 1 } { 2 } } )$ ，求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；
（Ⅱ）设 $( \mathsf { t } , \mathrm { ~ ~ \omega ~ } ( \mathsf { t } + 1 ) \mathrm { \Omega } ^ { 2 } )$ 为C上一点，则在该点处的切线方程为 $( y - ( t + 1 ) \ ^ { 2 } = 2$
（t+1）（x﹣t），即 $y = 2 ( t + 1 ) \times - t ^ { 2 } + 1$ ，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$ ，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离
【解答】解：（Ⅰ）设 $\mathsf { A } \left( \mathsf { x } _ { 0 } , \mathsf { \Gamma } \left( \mathsf { x } _ { 0 } \mathsf { + } 1 \right) \mathsf { \Omega } ^ { 2 } \right)$
∵y=（x+1）<sup>2</sup>，y′=2（x+1）
∴l的斜率为 $\ v { k } = 2 ( x _ { 0 } + 1 )$
当 $\lvert \mathsf { x } _ { 0 } \mathrm { = } 1$ 时，不合题意，所以 $\mathbf { \nabla } _ { \mathbf { X } _ { 0 } \neq 1 }$
圆 $\therefore \mathsf { M } ( 1 , \ \frac { 1 } { 2 } )$ ，MA的斜率 $\mathbf { k } ^ { \prime } = \frac { ( \mathbf { \Delta x _ { 0 } } + 1 ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } { \mathbf { \Delta x _ { 0 } } - 1 }$
∵l⊥MA， $\cdot 2 \ ( \mathbf { x } _ { 0 } + 1 ) \ \times \frac { ( \mathbf { \Delta } ( \mathbf { x } _ { 0 } + 1 ) \mathbf { \Sigma } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } { \mathbf { \Delta } \mathbf { x } _ { 0 } - 1 } = - \ 1$
$\therefore x _ { 0 } = 0 , \therefore \ A ( 0 , 1 )$
$$ \therefore r = { \big | } \mathsf { M A } { \big | } = { \frac { { \sqrt { 5 } } } { 2 } } ; $$
（Ⅱ）设（t，（t+1）<sup>2</sup>）为C上一点，则在该点处的切线方程为 $y - ( t + 1 ) = 2$
（t+1）（x﹣t），即 $y = 2 ( t + 1 ) \times - t ^ { 2 } + 1$
若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$
$$ \therefore \frac { \vert 2 ( t + 1 ) \times 1 - \frac { 1 } { 2 } - t ^ { 2 } + 1 \vert } { \sqrt { [ 2 ( t + 1 ) ] { 2 } + 1 } } = \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } $$
$$ \therefore t ^ { 2 } ( t ^ { 2 } - 4 t - 6 ) = 0 $$
$\therefore t _ { 0 } = 0$ ，或 $\scriptstyle \mathbf { t } _ { 1 } = 2 + { \sqrt { 1 0 } } , \mathbf { t } _ { 2 } = 2 \ - { \sqrt { 1 0 } }$
抛物线C在点 $( \mathfrak { t } _ { \mathfrak { i } } , \mathrm { ~ ~ \lambda ~ } ( \mathfrak { t } _ { \mathfrak { i } } { + } 1 ) \ \mathrm { ~ ~ \lambda ~ } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ ~ \lambda ~ } ( \mathfrak { i } { = } 0 , \ 1 , \ 2 )$ 处的切线分别为l，m，n，其方程分别为
$$ v = 2 \times + 1 \textcircled { 1 } , v = 2 ( t _ { 1 } + 1 ) \times - _ { t _ { 1 } } 2 + 1 \textcircled { 2 } , v = 2 ( t _ { 2 } + 1 ) \times - _ { t _ { 2 } } 2 + 1 \textcircled { 3 } $$
②﹣③： $x = \frac { t _ { 1 } + t _ { 2 } } { 2 } = 2$
代入②可得： $\mathsf { y } = - \mathsf { \Omega } _ { 1 }$
$\therefore \mathsf { D } \ ( 2 , \mathrm { ~ \ ~ - ~ } 1 )$
∴D到l的距离为 $\frac { \vert 4 + 1 + 1 \vert } { \sqrt { 5 } } = \frac { 6 } { 5 } \sqrt { 5 }$
【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标