设函数 f(x)=2 x-cos x, a_ n 是公差为…——2012 高考数学第 12 题答案解析

答案：D
解析：因为 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 $\frac{\pi}{8}$ 为公差的等差数列，所以 $a_{1}=a_{3}-\frac{\pi}{4}, a_{2}=a_{3}-\frac{\pi}{8}, a_{4}=a_{3}+\frac{\pi}{8}$ ，

$$ \begin{aligned} & a_{5}=a_{3}+\frac{\pi}{4}, \text { 则 } f\left(a_{1}\right)=2 a_{3}-\frac{\pi}{2}-\cos \left(a_{3}-\frac{\pi}{4}\right), \quad f\left(a_{2}\right)=2 a_{3}-\frac{\pi}{4}-\cos \left(a_{3}-\frac{\pi}{8}\right), \\ & f\left(a_{3}\right)=2 a_{3}-\cos a_{3}, \quad f\left(a_{4}\right)=2 a_{3}+\frac{\pi}{4}-\cos \left(a_{3}+\frac{\pi}{8}\right), \quad f\left(a_{5}\right)=2 a_{3}+\frac{\pi}{2}-\cos \left(a_{3}+\frac{\pi}{4}\right) . \end{aligned} $$

所以 $f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+f\left(a_{3}\right)+f\left(a_{4}\right)+f\left(a_{5}\right)$

$$ \begin{aligned} & =10 a_{3}-\left[\cos \left(a_{3}-\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(a_{3}-\frac{\pi}{8}\right)+\cos a_{3}++\cos \left(a_{3}+\frac{\pi}{8}\right)+\cos \left(a_{3}+\frac{\pi}{4}\right)\right] \\ & =10 a_{3}-\left(\sqrt{2} \cos a_{3}+\cos a_{3}+2 \cos \frac{\pi}{8} \cos a_{3}\right) \\ & =10 a_{3}-\left(\sqrt{2}+1+2 \cos \frac{\pi}{8}\right) \cos a_{3} \\ & =5 \pi \end{aligned} $$

则 $a_{3}=\frac{\pi}{2}$ ．
于是 $a_{1}=a_{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}, a_{5}=a_{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4}, \quad f\left(a_{3}\right)=2 \times \frac{\pi}{2}-\cos \frac{\pi}{2}=\pi$
故 $\left[f\left(a_{3}\right)\right]^{2}-a_{1} a_{5}=\pi^{2}-\frac{\pi}{4} \bullet \frac{3 \pi}{4}=\frac{13}{16} \pi^{2}$ ．
考点定位：本题考查数列的计算，意在考查考生对数列性质的灵活运用能力

第二部分（非选择题 共90分）

注意事项：

> （1）必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
> （2）本部分共 10 个小题，共 90 分。