若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表…——2020 高考数学第 3 题答案解析

【解答】
若棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． $12 \pi$
B． $24 \pi$
C． $36 \pi$
D． $144 \pi$

【答案】C
【解析】
【分析】
求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解．
【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 $R=\frac{\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}+(2 \sqrt{3})^{2}+(2 \sqrt{3})^{2}}}{2}=3$ ，
所以，这个球的表面积为 $S=4 \pi R^{2}=4 \pi \times 3^{2}=36 \pi$ ．
故选：C．
【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题．求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，

借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心。