（10分） A B C，内角A，B，C成等差数列，其对边a…——2012 高考数学第 17 题答案解析

【考点】8N：数列与三角函数的综合

【专题】15：综合题；2A：探究型

【分析】由题设条件，可先由A，B，C成等差数列，及 $A + B + C = \pi$ 得到 $B = \frac { \pi } { 3 }$ ，及A$+ \mathsf { C } = \frac { 2 \pi } { 3 }$ ，再由正弦定理将条件 $2 b ^ { 2 } = 3 a c$ 转化为角的正弦的关系，结合 $\cos ( \mathsf { A } ^ { + }$ C） $= \cos \mathsf { A c o s C \mathrm { ~ - ~ } \mathsf { s i n A s i n C } }$ 求得 $\mathtt { c o s A c o s C = 0 }$ ，从而解出A

【解答】解：由A，B，C成等差数列，及 $A + B + C = \pi$ 得 $B = \frac { \pi } { 3 }$ ，故有 $A + C = \frac { 2 \pi } { 3 }$ 由 $2 b ^ { 2 } = 3 a c$ 得 $2 \sin ^ { 2 } B = 3 \sin A \sin C = \frac { 3 } { 2 }$

所以 $\sin A \sin C = \frac { 1 } { 2 }$

所以 $\cos ( A + C ) = \cos A \cos C - \sin A \sin C = \cos A \cos C - \frac { 1 } { 2 }$

即 $\cos \mathsf { A c o s C } - \frac { 1 } { 2 } = - \frac { 1 } { 2 }$ ，可得 $\mathtt { c o s A c o s C = 0 }$

所以 $\cos A = 0$ 或 $\mathtt { c o s C = 0 }$ ，即A是直角或C是直角

所以A是直角，或 $s = \frac { \pi } { 6 }$

【点评】本题考查数列与三角函数的综合，涉及了三角形的内角和，两角和的余弦公式，正弦定理的作用边角互化，解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三角函数的相关公式，本题考查了转化的思想，有一定的探究性及综合性