两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体…——2021 高考数学第 6 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，
设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即 $A D = 3 B D$ 设球的半径为R，则 $\frac { 4 \pi R ^ { 3 } } { 3 } = \frac { 3 2 \pi } { 3 }$ ，可得 $R = 2$ ，所以， $\angle A B = A D + B D = 4 B D = 4$ 所以， $B D = 1 , ~ A D = 3$
$\because C D \perp A B$ ，则 $\angle C A D + \angle A C D = \angle B C D + \angle A C D = 9 0 ^ { \circ }$ ，所以， $\angle C A D = \angle B C D$ 又因为 $\angle A D C = \angle B D C$ ，所以， $\triangle A C D \sim \triangle C B D$
所以， $\frac { A D } { C D } = \frac { C D } { B D } , \therefore C D = \sqrt { A D \cdot B D } = \sqrt { 3 }$
因此，这两个圆锥的体积之和为 $\frac 1 3 \pi \times C D ^ { 2 } \cdot \left( A D + B D \right) = \frac 1 3 \pi \times 3 \times 4 = 4 \pi$
故选：B.