（5分）已知函数f ( x ) β = x ^ 2 - 2…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【考点】52：函数零点的判定定理

【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】通过转化可知问题等价于函数 $\begin{array} { r } { \mathsf { \Psi } . \mathsf { y } = 1 - \mathsf { \Psi } ( \mathsf { x } - 1 ) } \end{array}$ ²的图象与 $y = a ( e ^ { x - 1 } + \frac { 1 } { e ^ { x - 1 } }$ ）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、 $\mathsf { a } < 0$ 、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论

【解答】解：因为f $( \mathbf { x } ) \ = \mathbf { x } ^ { 2 } \ - \ 2 \mathbf { x } ^ { + } \mathbf { a } ( \mathbf { e } ^ { \mathbf { x } \cdot 1 + } \mathbf { e } ^ { \ - \mathbf { x } + 1 } ) \ = - \ \mathbf { 1 } ^ { + } \ ( \mathbf { x } - \mathbf { 1 } ) \ ^ { 2 } + \mathbf { a } ( \mathbf { e } ^ { \mathbf { x } \cdot 1 + } { \frac { 1 } { \mathbf { e } ^ { \mathbf { x } - 1 } } } ) \ = 0 ,$ ）=0，

所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1 $- ( x - 1 ) ^ { 2 } = \mathsf { a } ( \mathsf { e } ^ { x - 1 + \frac { 1 } { \mathsf { e } ^ { x - 1 } } ) }$ 有唯一解等价于函数 $\begin{array} { r } { \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { y } = 1 - \mathbf { \nabla } \left( \mathbf { x } - 1 \right) } \end{array}$ ²的图象与 $\mathsf { \Upsilon } \mathsf { v } = \mathsf { a } ( \mathsf { e } ^ { \mathsf { x } - 1 + \frac { 1 } { \mathsf { e } ^ { \mathsf { x } - 1 } } } )$ 的图象只有一个交点

①当a=0时， ${ \sf f } ( { \sf x } ) = { \sf x } ^ { 2 } - 2 { \sf x } \geq - 1$ ，此时有两个零点，矛盾；

②当 $\mathsf { a } < 0 |$ 时，由于 $\scriptstyle \mathtt { \backslash y = 1 } - \ ( \mathtt { x } - 1 )$ ²在 $\mathrm { ~ ( ~ - ~ } \infty , \mathrm { ~ } 1 \mathrm { ) }$ 上递增、在 $( 1 , \ + \infty )$ 上递减

且 $v = a ( e ^ { x - 1 + \frac { 1 } { e ^ { x - 1 } } } )$ 在 $\mathrm { ~ ( ~ - ~ } \infty , \mathrm { ~ } 1 \mathrm { ) }$ 上递增、在（1，+∞）上递减，

所以函数 $\begin{array} { r } { \mathsf { y } { = } 1 - \mathsf { \Gamma } ( \mathsf { x } - 1 ) } \end{array}$ ²的图象的最高点为A（1，1）， $\mathsf { v } = \mathsf { a } ( \mathsf { e } ^ { \mathsf { x } - 1 + \frac { 1 } { \mathsf { e } ^ { \mathsf { x } - 1 } } ) }$ 的图象的最高点为B（1，2a），

由于 $2 \mathsf { a } < 0 < 1$ ，此时函数 $\begin{array} { r } { \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { y } = 1 - \mathbf { \nabla } \left( \mathbf { x } - 1 \right) } \end{array}$ ²的图象与 $\mathsf { \Upsilon } \mathsf { v } = \mathsf { a } ( \mathsf { e } ^ { \mathsf { x } - 1 + \frac { 1 } { \mathsf { e } ^ { \mathsf { x } - 1 } } } )$ 的图象有两个交点，矛盾；

③当 $\mathsf { a } > 0$ 时，由于 $\scriptstyle \mathtt { \backslash y = 1 } - \ ( \mathtt { x } - 1 )$ ²在 $\mathrm { ~ ( ~ - ~ } \infty , \mathrm { ~ } 1 \mathrm { ) }$ 上递增、在 $( 1 , \ + \infty )$ 上递减

且 $v = a ( e ^ { x - 1 + \frac { 1 } { e ^ { x - 1 } } } )$ 在 $\mathrm { ~ ( ~ - ~ } \infty , \mathrm { ~ } 1 \mathrm { ) }$ ）上递减、在 $( 1 , \ + \infty )$ 上递增，

所以函数 $\scriptstyle \cdot = 1 - \ ( \mathbf { \textsf { x } } - 1 )$ ²的图象的最高点为A（1，1）， $\mathsf { v } = \mathsf { a } ( \mathsf { e } ^ { \mathsf { x } - 1 + \frac { 1 } { \mathsf { e } ^ { \mathsf { x } - 1 } } ) }$ 的图象的最低点为B（1，2a），

由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即 $\mathsf { a } { = } \frac { 1 } { 2 }$ ，符合条件；

综上所述， $\mathsf { a } { = } \frac { 1 } { 2 }$

故选：C

【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题