2014_退役省自主命题 (2014·理)
19．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 2 ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）令 $b_{n}=(-1)^{n-1} \frac{4 n}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
解：（I ）$d=2, \mathrm{~S}_{1}=a_{1}, \mathrm{~S}_{2}=2 a_{1}+d, S_{4}=4 a_{1}+6 d$
$\because S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列
$\therefore S_{2}^{2}=S_{1} S_{4}$
解得 $a_{1}=1, \therefore a_{n}=2 n-1$
（II ）$b_{n}=(-1)^{n-1} \frac{4 n}{a_{n} a_{n+1}}=(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{2 n-1}+\frac{1}{2 n+1}\right)$
当 $n$ 为偶数时,$T_{n}=\left(1+\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)-\cdots+\left(\frac{1}{2 n-3}+\frac{1}{2 n-1}\right)-\left(\frac{1}{2 n-1}+\frac{1}{2 n+1}\right)$
当 $n$ 为奇数时,$T_{n}=\left(1+\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)-\cdots-\left(\frac{1}{2 n-3}+\frac{1}{2 n-1}\right)+\left(\frac{1}{2 n-1}+\frac{1}{2 n+1}\right)$
$\therefore T_{n}=1+\frac{1}{2 n+1}=\frac{2 n+2}{2 n+1}$
$\therefore T_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 n}{2 n+1}, n \text { 为偶数 } \\ \frac{2 n+2}{2 n+1}, n \text { 为奇数 }\end{array}\right.$