（本小题满分 12 分） 已知等差数列 a_ n 的公差为…——2014 高考数学第 19 题答案解析

（I）设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差 $d=2$。
由等差数列前 $n$ 项和公式可得：
$S_1 = a_1$
$S_2 = 2a_1 + \frac{2 \times 1}{2} d = 2a_1 + 2$
$S_4 = 4a_1 + \frac{4 \times 3}{2} d = 4a_1 + 12$

因为 $S_1, S_2, S_4$ 成等比数列，所以 $S_2^2 = S_1 S_4$，即：
$(2a_1 + 2)^2 = a_1 (4a_1 + 12)$
展开整理得：
$4a_1^2 + 8a_1 + 4 = 4a_1^2 + 12a_1$
$8a_1 + 4 = 12a_1$
$4a_1 = 4 \implies a_1 = 1$

故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为：
$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$

（II）由（I）知 $a_n = 2n - 1$，则 $a_{n+1} = 2n + 1$。
代入 $b_n$ 的表达式：
$b_n = (-1)^{n-1} \frac{4n}{(2n-1)(2n+1)}$

利用裂项相消法处理分式部分：
$\frac{4n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{(2n+1) + (2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1}$

所以：
$b_n = (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1} \right)$

接下来求前 $n$ 项和 $T_n = \sum_{k=1}^n b_k$。需分 $n$ 为偶数和奇数两种情况讨论。

**情形 1：当 $n$ 为偶数时**
设 $n = 2m$ ($m \in \mathbb{N}^*$)。
$T_n = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + \cdots + b_{n-1} + b_n$
$T_n = \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \right) - \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{9} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-3} + \frac{1}{2n-1} \right) - \left( \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1} \right)$

观察中间项的抵消规律：
第 1 项括号内的 $\frac{1}{3}$ 与第 2 项括号内的 $-\frac{1}{3}$ 抵消；
第 2 项括号内的 $-\frac{1}{5}$ 与第 3 项括号内的 $\frac{1}{5}$ 抵消；
...
以此类推，中间所有项均被抵消，仅剩余首项的第一部分和末项的第二部分。
$T_n = 1 - \frac{1}{2n+1} = \frac{2n+1-1}{2n+1} = \frac{2n}{2n+1}$

**情形 2：当 $n$ 为奇数时**
此时 $n-1$ 为偶数。我们可以利用 $T_n = T_{n-1} + b_n$ 进行推导。
由情形 1 可知，当项数为 $n-1$（偶数）时：
$T_{n-1} = \frac{2(n-1)}{2(n-1)+1} = \frac{2n-2}{2n-1}$

计算第 $n$ 项 $b_n$（注意 $n$ 为奇数，$(-1)^{n-1}=1$）：
$b_n = \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1}$

所以：
$T_n = T_{n-1} + b_n = \frac{2n-2}{2n-1} + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1}$
$T_n = \frac{2n-2+1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1} = \frac{2n-1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1}$
$T_n = 1 + \frac{1}{2n+1} = \frac{2n+1+1}{2n+1} = \frac{2n+2}{2n+1}$

综上所述，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ 为：
$T_n = \begin{cases} \frac{2n}{2n+1}, & n \text{为偶数} \\ \frac{2n+2}{2n+1}, & n \text{为奇数} \end{cases}$