设函数 f ( x ) = a ^ 2 x ^ 2 + a…——2021 高考数学第 20 题答案解析

【答案】①f(x)的减区间为 $\left( 0 , { \frac { 1 } { a } } \right)$ ，增区间为 $\left( \frac { 1 } { a } , + \infty \right)$ ；② $a > \frac { 1 } { e }$

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

（2）根据 $f ( 1 ) > 0$ 及①的单调性性可得 $f \left( x \right) _ { \operatorname* { m i n } } > 0$ ，从而可求a的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为 $\left( 0 , + \infty \right)$ ，

又 $f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { { \bigl ( } 2 a x + 3 { \bigr ) } ( a x - 1 ) } { x } }$

因为 $a > 0 , x > 0$ ，故 $2 a x + 3 > 0$

当 $0 < x < { \frac { 1 } { a } }$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ ；当 $x > \frac { 1 } { a }$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ ；

所以 f(x)的减区间为 $\left( 0 , { \frac { 1 } { a } } \right)$ ，增区间为 $\left( \frac { 1 } { a } , + \infty \right)$

（2）因为 $f \left( 1 \right) = a ^ { 2 } + a + 1 > 0$ 且 $y = f ( x )$ 的图与x轴没有公共点，

所以 y = f(x) 的图象在 x 轴的上方，

由①中函数的单调性可得 $f \left( x \right) _ { \mathrm { m i n } } = f { \left( { \frac { 1 } { a } } \right) } = 3 - 3 \ln { \frac { 1 } { a } } = 3 + 3 \ln a$

故 $3 + 3 \ln a > 0$ 即 $a > \frac { 1 } { e }$

【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.