（12分）已知数列 a _ n 中， a _ 1 = 1，…——2012 高考数学第 18 题答案解析

【考点】8H：数列递推式

【专题】11：计算题

【分析】（1）直接利用已知，求出 $\begin{array} { r l } { \mathsf { a } _ { 2 } , } & { { } \mathsf { a } _ { 3 } ; } \end{array}$

（2）利用已知关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项公式即可

【解答】解：（1）数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathtt { a } _ { 1 } = 1$ ，前n项和 $S _ { \mathrm { n } } \mathrm { = } \frac { \mathrm { n + 2 } } { 3 } \mathrm { a } _ { \mathrm { n } }$

可知 $\mathtt { S } _ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } \mathtt { a } _ { 2 } ,$ 得3 $( { \mathsf { a } } _ { 1 } { + } { \mathsf { a } } _ { 2 } ) = 4 { \mathsf { a } } _ { 2 }$

解得 $\mathtt { a } _ { 2 } = 3 \mathtt { a } _ { 1 } = 3$ ，由 ${ \tt S } _ { 3 } = \frac { 5 } { 3 } { \tt a } _ { 3 } ,$

得3 $( \mathsf { a } _ { 1 } + \mathsf { a } _ { 2 } + \mathsf { a } _ { 3 } ) \ = 5 \mathsf { a } _ { 3 }$

解得 $\mathtt { a } _ { 3 } = \frac { 3 } { 2 } ( \mathtt { a } _ { 1 } + \mathtt { a } _ { 2 } ) = 6$

> ②由题意知 $\mathtt { a } _ { 1 } = 1$

当 $\mathsf { m } > 1$ 时，有 $a _ { n } = S _ { n } - S _ { n - 1 } = \frac { n + 2 } { 3 } a _ { n } - \frac { n + 1 } { 3 } a _ { n - 1 }$

整理得 $\mathsf { a } _ { \mathrm { n } } = \frac { \mathrm { n } + 1 } { \mathrm { n } - 1 } \mathsf { a } _ { \mathrm { r } \mathrm { r } 1 } ,$

于是 $\mathtt { a } _ { 1 } = 1$

$$ \mathsf { a } _ { 2 } \mathsf { = } \frac { 3 } { 1 } \mathsf { a } _ { 1 } , $$

$$ \mathsf { a } _ { 3 } \mathsf { = } \frac { 4 } { 2 } \mathsf { a } _ { 2 } , $$

$$ a _ { n - 1 } = \frac { n } { n - 2 } a _ { n - 2 } , $$

$$ \mathsf { a } _ { \mathrm { n } } = \frac { \mathrm { n } + 1 } { \mathrm { n } - 1 } \mathsf { a } _ { \mathrm { r } \mathrm { r } 1 } , $$

将以上n个式子两端分别相乘，

整理得： $a _ { n } = \frac { n ( n + 1 ) } { 2 }$

综上 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式为 $\mathsf { a } _ { \mathrm { n } } = \frac { \mathsf { n } \left( \mathrm { n } + 1 \right) } { 2 }$

【点评】本题考查数列的项的求法，累积法的应用，考查计算能力