如图，在长方体 A B C D - A _ 1 B _ 1…——2020 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】
【分析】

（1）根据正方形性质得 $A C \perp B D$ ，根据长方体性质得 $A C \perp B B _ { 1 }$ ,进而可证 $A C \bot$ 平面$B B _ { 1 } D _ { 1 } D$ ,即得结果；

（2）只需证明 $E C _ { 1 } / / A F$ 即可，在 $C C _ { 1 }$ 上取点M 使得 $C M = 2 M C _ { _ 1 }$ ,再通过平行四边形性质进行证明即可.

【详解】

（1）因为长方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ ,所以 $B B _ { 1 } \perp$ 平面 $A B C D \therefore A C \bot B B _ { 1 }$
因为长方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } , A B = B C$ ,所以四边形ABCD为正方形\ $A C \perp B D$
因为 $B B _ { 1 } \mid B D = B , B B _ { 1 }$ 1 $B D \subset$ 平面 $B B _ { 1 } D _ { 1 } D$ ,因此 $A C \bot$ 平面 $B B _ { 1 } D _ { 1 } D$
因为 $E F \subset$ 平面 $B B _ { 1 } D _ { 1 } D$ ,所以 $A C \perp E F$
（2）在 $C C _ { 1 }$ 上取点M 使得 $C M = 2 M C _ { 1 }$ ,连 $D M , M F$
因为 $D _ { 1 } E = 2 E D , D D _ { 1 } / / C C _ { 1 } , D D _ { 1 } { = } C C _ { 1 }$ ,所以 $E D = M C _ { 1 } , E D / / M C _ { 1 }$
所以四边形 $D M C _ { 1 } E$ 为平行四边形， $\therefore D M / / E C _ { 1 }$
因为 $M F / / D A , M F { = } D A .$ ,所以四边形MFAD为平行四边形，\ $D M / / A F , \therefore E C _ { 1 } / / A F$
因此 $C _ { 1 }$ 在平面 $A E F$ 内
【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中