（本小题满分 12 分） 某居民小区有两个相互独立的安全防…——2012 高考数学第 17 题答案解析

解：①设＂至少有一个系统不发生故障＂为事件 C ，那么 $1-P(\bar{C})=1-\frac{1}{10} \bullet p=\frac{49}{50}$ ．
解得 $p=\frac{1}{5}$ ．
> ②由题意，$P(\xi=0)=C_{3}^{0}\left(\frac{1}{10}\right)^{3}=\frac{1}{1000}$
$P(\xi=1)=C_{3}^{1}\left(\frac{1}{10}\right)^{2}\left(1-\frac{1}{10}\right)=\frac{27}{1000}$
$P(\xi=2)=C_{3}^{2}\left(\frac{1}{10}\right)\left(1-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{243}{1000}$
$P(\xi=3)=C_{3}^{3}\left(1-\frac{1}{10}\right)=\frac{729}{1000}$
所以，随机变量 $\xi$ 的概率分布列为

故随机变量 $\xi$ 的数学期望：
$E \xi=0 \times \frac{1}{1000}+1 \times \frac{27}{1000}+2 \times \frac{243}{1000}+3 \times \frac{729}{1000}=\frac{27}{10}$
考点定位：本小题考查相互独立事件、独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。