（5分）已知 F _ 1 , F _ 2 为双曲线C： x…——2012 高考数学第 10 题答案解析

【考点】KC：双曲线的性质

【专题】11：计算题

【分析】根据双曲线的定义，结合 $\left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| = 2 \left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right|$ ，利用余弦定理，即可求 $\mathsf { c o s } \angle \mathsf { F } _ { 1 }$ ${ \mathsf { P F } } _ { 2 }$ 的值

【解答】解：将双曲线方程 $\ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 2$ 化为标准方程 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 2 } = 1$ ，则 $\mathsf { a } = \sqrt { 2 } , \mathsf { b } = \sqrt { 2 }$ $\mathtt { C } = 2$

设 $\left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| { = } 2 \left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right| { = } 2 \mathsf { m }$ ，则根据双曲线的定义， $\vert \mathsf { P F } _ { 1 } \vert \ - \ \vert \mathsf { P F } _ { 2 } \vert = 2 \mathsf { a }$ 可得 $m { = } 2 \sqrt { 2 }$

$$ \therefore \mid \mathsf { P F } _ { 1 } \mid = 4 \sqrt { 2 } , \quad \mid \mathsf { P F } _ { 2 } \mid = 2 \sqrt { 2 } , $$

∵|F₁F₂|=2c=4，

$$ \therefore \cos \angle \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { P } \mathsf { F } _ { 2 } = \frac { | \mathsf { P F } _ { 1 } | ^ { 2 } + | \mathsf { P F } _ { 2 } | ^ { 2 } - | \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } | ^ { 2 } } { 2 | \mathsf { P F } _ { 1 } | \mid \mathsf { P F } _ { 2 } | } \mathrm { = } \frac { 3 2 \mathrm { + } 8 \mathrm { - } 1 6 } { 2 \times 4 \sqrt { 2 } \times 2 \sqrt { 2 } } \frac { - 2 4 _ { - } 3 } { 3 2 } . $$

故选：C

【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题