2020_新课标I卷
17.设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是公比不为1的等比数列， $a _ { 1 }$ 为 $a _ { 2 } , a _ { 3 }$ 的等差中项
（1）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比；
（2）若 $a _ { 1 } = 1$ ，求数列 $\{ n a _ { n } \}$ 的前 n项和
(1) -2; (2) $S _ { n } = \frac { 1 - ( 1 + 3 n ) ( - 2 ) ^ { n } } { 9 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）-2；② $S _ { n } = \frac { 1 - ( 1 + 3 n ) ( - 2 ) ^ { n } } { 9 }$
【解析】
【分析】
<sub>①由已知结合等差中项关系，建立公比</sub>q<sub>的方程，求解即可得出结论；</sub>
> ②由①结合条件得出 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项，根据 $\{ n a _ { n } \}$ 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】①设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ <sub>的公比为</sub>q<sub>，</sub> $a _ { 1 }$ 为 $a _ { 2 } , a _ { 3 }$ 的等差中项，
$$ \because 2 a _ { 1 } = a _ { 2 } + a _ { 3 } , a _ { 1 } \neq 0 , \therefore q ^ { 2 } + q - 2 = 0 $$
$$ \because q \neq 1 , \therefore q = - 2 $$
> ②设 $\{ n a _ { n } \}$ 的前n项和为 $S _ { n } \ : , a _ { 1 } = 1 , a _ { n } = ( - 2 ) ^ { n - 1 }$
$$ S _ { n } = 1 \times 1 + 2 \times ( - 2 ) + 3 \times ( - 2 ) ^ { 2 } + \dots + n ( - 2 ) ^ { n - 1 } , \textcircled { 1 } $$
$$ - 2 S _ { n } = 1 \times ( - 2 ) + 2 \times ( - 2 ) ^ { 2 } + 3 \times ( - 2 ) ^ { 3 } + \cdots ( n - 1 ) ( - 2 ) ^ { n - 1 } + n ( - 2 ) ^ { n } ~ , ~ \textcircled { 2 } $$
① <sup>-</sup>②得， $3 S _ { n } = 1 + ( - 2 ) + ( - 2 ) ^ { 2 } + \cdots + ( - 2 ) ^ { n - 1 } - n ( - 2 ) ^ { n }$
$$ = \frac { 1 - ( - 2 ) ^ { n } } { 1 - ( - 2 ) } - n ( - 2 ) ^ { n } = \frac { 1 - ( 1 + 3 n ) ( - 2 ) ^ { n } } { 3 } , $$
$$ \therefore S _ { n } = \frac { 1 - ( 1 + 3 n ) ( - 2 ) ^ { n } } { 9 } . $$
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量 计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和的，考查计算求解能力，属于基础题.