2012_daganji_old
16．（5分）三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中，底面边长和侧棱长都相等， $\scriptstyle \angle B A A _ { 1 } = \angle C A A _ { 1 } =$ $60 ^ { \circ }$ ，则异面直线 $\mathsf { A B } _ { 1 }$ 与 ${ \mathsf { B C } } _ { 1 }$ 所成角的余弦值为 $\frac { \sqrt { 6 } } { 6 }$
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LM：异面直线及其所成的角
【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线A$\mathsf { B } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { B C } _ { 1 }$ 所成角的余弦值即可
【解答】解：如图，设 $\overrightarrow { \mathrm { ~ A ~ A ~ } _ { 1 } } = \overrightarrow { \mathrm { ~ c ~ } } , \overrightarrow { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } = \overrightarrow { \sf { a } } , \overrightarrow { \mathrm { ~ A ~ C ~ } } = \overrightarrow { \mathrm { b } }$ ，棱长均为1，
则 $\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } = \frac { 1 } { 2 } , \overrightarrow { b } \cdot \overrightarrow { c } = \frac { 1 } { 2 } , \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { c } = \frac { 1 } { 2 }$
$$ \because \overrightarrow { A B _ { 1 } } = \overrightarrow { a } + \overrightarrow { c } , \overrightarrow { B C _ { 1 } } = \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { B B _ { 1 } } = \overrightarrow { b } - \overrightarrow { a } + \overrightarrow { c } $$
$$ \therefore \overrightarrow { A B _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { B C _ { 1 } } = ( \overrightarrow { a } + \overrightarrow { c } ) \cdot ( \overrightarrow { b } - \overrightarrow { a } + \overrightarrow { c } ) = \overrightarrow { a } \bullet \overrightarrow { b } - \overrightarrow { a } + \overrightarrow { a } \bullet \overrightarrow { c } + \overrightarrow { b } \bullet \overrightarrow { c } - \overrightarrow { a } \bullet \overrightarrow { c } + \overrightarrow { c } $$
$$ = \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } - \frac { } { } \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } \cdot \overrightarrow { c } + \overrightarrow { c } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } - 1 + \frac { 1 } { 2 } + 1 = 1 $$
$$ \vert \overrightarrow { \sf A B _ { 1 } } \vert = \sqrt { ( \overrightarrow { \sf a } + \overrightarrow { \sf c } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 1 + 1 + 1 } = \sqrt { 3 } $$
$$ | \overrightarrow { B C _ { 1 } } | = \sqrt { ( \overrightarrow { b } - \overrightarrow { a } + \overrightarrow { c } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 1 + 1 + 1 - 1 - 1 + 1 } = \sqrt { 2 } $$
$$ \therefore \cos < \overrightarrow { \mathrm { A B } _ { 1 } } , \overrightarrow { \mathrm { B C } _ { 1 } } > = \frac { \overrightarrow { \mathrm { A B } _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { B C } _ { 1 } } } { \vert \overrightarrow { \mathrm { A B } _ { 1 } } \vert \cdot \vert \overrightarrow { \mathrm { B C } _ { 1 } } \vert } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \times \sqrt { 3 } } = \frac { \sqrt { 6 } } { 6 } $$
∴异面直线 $\mathsf { A B } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { B C } _ { 1 }$ 所成角的余弦值为 $\frac { \sqrt { 6 } } { 6 }$
【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量
三.