【答案】①$W=Q U$
② $\left(E_{3}-E_{2}\right)<\left(E_{2}-E_{1}\right)$
③ $E \approx 2.57 \times 10^{11} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$
【解析】
【小问 1 详解】
在 B 极附近电荷量为 $Q$ 的负电荷到达 A 极过程中静电力做的功 $W=-Q \cdot(-U)=Q U$
【小问 2 详解】
粒子在半径为 $r$ 处绕轴线做匀速圆周运动，其向心力由电场力提供，根据向心力公式 $q E=m \frac{v^{2}}{r}$又 $E=k \frac{2 \lambda}{r}$
联立可得 $q k \frac{2 \lambda}{r}=m \frac{v^{2}}{r}$
解得粒子的动能 $E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} m v^{2}=q k \lambda$
设无穷远处电势能为 0 ，粒子从无穷远处移动到半径为 $r$ 处，电场力做功 $W=q \int_{\infty}^{r} E \mathrm{~d} r$
其中 $E=k \frac{2 \lambda}{r}$
代入可得 $W=q \int_{\infty}^{r} k \frac{2 \lambda}{r} \mathrm{~d} r=-2 q k \lambda \ln r$
根据 $W=-\Delta E_{\mathrm{p}}$
可得粒子在半径为 $r$ 处的电势能 $E_{\mathrm{p}}=2 q k \lambda \ln r$
粒子的总能量粒子的总能量 $E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}=q k \lambda+2 q k \lambda \ln r$
则 $E_{3}-E_{2}=2 q k \lambda\left(\ln r_{3}-r_{2}\right), E_{2}-E_{1}=2 q k \lambda\left(\ln r_{2}-r_{1}\right)$
根据数学知识可知对数函数 $y=\ln x$ 在 $(0, \infty)$ 是增函数，且 $\ln x$ 的二阶导数 $(\ln x)^{\prime \prime}=-\frac{1}{x^{2}}<0$所以 $y=\ln x$ 是凹函数，已知 $r_{3}-r_{2}=r_{2}-r_{1}$ ，即 $r_{2}$ 是 $r_{1}$ 与 $r_{3}$ 的等差中项，根据凹函数的性质$\ln r_{2}>\frac{\ln r_{1}+\ln r_{3}}{2}$
移项可得 $\ln r_{3}-\ln r_{2}<\ln r_{2}-\ln r_{1}$
又因为 $2 q k \lambda>0$
可得 $\left(E_{3}-E_{2}\right)<\left(E_{2}-E_{1}\right)$
【小问 3 详解】
**方法一**：电子绕核做圆周运动，库仑力提供向心力，即 $k \frac{e^{2}}{a^{2}}=m \frac{v^{2}}{a}$
电子的动能 $E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} m v^{2}$
联立可得 $E_{\mathrm{k}}=\frac{k e^{2}}{2 a}$
根据库仑定律，电子与原子核之间的库仑力 $F=k \frac{e^{2}}{a^{2}}$
电子从基态轨道半径 $a$ 处运动到无穷远处，克服库仑力做功 $W_{\text {库 }}=\int_{a}^{\infty} \frac{k e^{2}}{r^{2}} \mathrm{~d} r$
积分可得 $W_{\text {库 }}=\frac{k e^{2}}{a}$
则电子在基态轨道半径 $a$ 处的电势能 $E_{\mathrm{p}}=-W_{\text {库 }}$
根据能量守恒定律，将基态氢原子电离所需的能量 $\Delta E$ 等于电子的动能与基态氢原子的势能之和，即
$$
\Delta E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}=\frac{k e^{2}}{2 a}
$$
设外电场的电场强度为 $E$ ，电子在电场力作用下获得能量，当电子获得的能量等于将基态氢原子电离所需的能量时，氢原子被电离。电子在电场力作用下获得的能量 $W=\Delta E=e E a$
联立可得 $E=\frac{k e}{2 a^{2}}$
代入数据解得 $E \approx 2.57 \times 10^{11} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$
**方法二**：根据功能关系可得 $e E a=\left|E_{0}\right|$
代入数据可得 $E \approx 2.57 \times 10^{11} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$
