设 a ≠ 0，若a为函数 f ( x ) = a ( x…——2021 高考数学第 10 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分类讨论，画出 图象，即可得到 $^ { a , b }$ 所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若 $a = b$ ，则 $f ( x ) = a { \bigl ( } x - a { \bigr ) } ^ { 3 }$ 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 $a ^ { \textsf { 1 } } \ b$

$\therefore f ( x )$ 有a和b两个不同零点，且在 $x = a$ 左右附近是不变号，在 $x = b$ 左右附近是变号的.依题意，a为函数 $f \left( x \right) = a \left( x - a \right) ^ { 2 } \left( x - b \right)$ 的极大值点，\在x a= 左右附近都是小于零的.当 $a { < } 0$ 时，由 $x > b$ $f ( x ) \leq 0$ ，画出 f(x)的图象如下图所示：

由图可知 $b < a \ , a { < } 0$ ，故 $a b > a ^ { 2 }$

当 $a > 0$ 时，由 $x > b$ 时， $f ( x ) > 0$ ，画出 f(x)的图象如下图所示：

由图可知 $b > a \ , \quad a > 0$ ，故 $a b > a ^ { 2 }$

综上所述， $a b > a ^ { 2 }$ 成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.