2012_退役省自主命题 (2012·理)
（18）（本小题满分 12 分）
如图，直三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \angle B A C=90^{\circ}$ ， $A B=A C=\lambda A A^{\prime}$ ，点 $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{N}$ 分别为 $A^{\prime} B$ 和 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点。
（ I ）证明：$M N / /$ 平面 $A^{/} A C C^{/}$；
（II）若二面角 $A^{\prime}-M N-C$ 为直二面角，求 $\lambda$ 的值。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
解析：①证法－：连结 $A B^{\prime}, A C^{\prime}$ ，由已知 $\angle B A C=90^{\circ}$
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ ，三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 为直三棱柱，所以 M 为 $A B^{\prime}$ 中点，
又因为 N 为 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点，所以 $M N / / A C$ ．
又 $M N \not \subset$ 平面 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{ACC}, A C^{\prime} \subset$ 平面 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{ACC}$ ，因此 $M N / /$ 平面 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{ACC}$
证法二：取 $A^{\prime} B^{\prime}$ 中点 p ，连结 $\mathrm{MP}, \mathrm{NP}$ ，而 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别为 $A B^{\prime}$ 与 $\mathrm{B}^{\prime} C^{\prime}$ 的中点，所以 $\mathrm{MP} / / A A^{\prime}$ ， $\mathrm{PN} / / A C$ ，所以 $\mathrm{MP} / /$ 平面 $\mathrm{ACC}, \mathrm{PN} / /$ 平面 ACC, 又 $M P \cap N P=P$ ，
因此平面 $M P N / /$ 平面 $\mathrm{A} \mathrm{ACC}^{\prime}$ 而 $\mathrm{MN} \subset$ 平面 $M P N$ ，因此 $\mathrm{MN} / /$ 平面 $\mathrm{A} \mathrm{ACC}^{\prime}$
> ②以 A 为坐标原点，分别以直线 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}, A A$ 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立直角坐标系 $\mathrm{O}-\mathrm{xyz}$ ，如图所示．
设 $A A^{\prime}=1$ ，则 $A B=A C=\lambda$ ，
于是 $A(0,0,0), B(\lambda, 0,0), C(0, \lambda, 0)$ ，
$A^{\prime}(0,0,1), B^{\prime}(\lambda, 0,1), C^{\prime}(0, \lambda, 1)$,
所以 $M\left(\frac{\lambda}{2}, 0, \frac{1}{2}\right), N\left(\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda}{2}, 1\right)$
设 $\vec{m}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 是平面 $A M N$ 的法向量
由 $\left\{\begin{array}{l}\bar{m} \bullet \overline{A M}=0 \\ \bar{m} \bullet \overline{M N}=0\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\lambda}{2} x_{1}-\frac{1}{2} z_{1}=0 \\ \frac{\lambda}{2} y_{1}+\frac{1}{2} z_{1}=0\end{array}\right.$
可取 $\vec{m}=(1,-1, \lambda)$
设 $\vec{n}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ 是平面 $A M N$ 的法向量
由 $\left\{\begin{array}{c}\bar{n} \bullet \overrightarrow{N C}=0 \\ \bar{n} \bullet \overrightarrow{M N}=0\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{c}-\frac{\lambda}{2} x_{2}+\frac{\lambda}{2} y_{2}-z_{2}=0 \\ \frac{\lambda}{2} y_{2}+\frac{1}{2} z_{2}=0\end{array}\right.$
可取 $\vec{n}=(-3,-1, \lambda)$
因为 $A-M N-C$ 为直二面角，所以 $\vec{m} \bullet \vec{n}=0$
即 $-3+(-1) \times(-1)+\lambda^{2}=0$ ，解得 $\lambda=\sqrt{2}$
考点定位：本大题主要以直三棱柱为几何背䁁考查线面垂直的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解。突出考查空间想象能力和计算能力。