（本小题满分 12 分） 已知数列 a_ n 的各项均为正…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【解析】（I）对任意 $n \in N^{*}$ ，三个数 $A(n), B(n), C(n)$ 组成等差数列，所以

$$ B(n)-A(n)=C(n)-B(n) $$

即 $a_{n+1}-a_{1}=a_{n+2}-a_{2}$ ，亦即 $a_{n+2}-a_{n+1}=a_{2}-a_{1}=4$ 。
故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 ，公比为 4 的等差数列．于是 $a_{n}=1+(n-1) \times 4=4 n-3$ ．
（II）①必要性：若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则对任意 $n \in N^{*}$ ，有
$a_{n+1}=a_{n} q$ ．由 $a_{n}>0$ 知，$A(n), B(n), C(n)$ 均大于 0 ，于是

$$ \frac{B(n)}{A(n)}=\frac{a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n+1}}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}=\frac{q\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}=q $$

$\frac{C(n)}{B(n)}=\frac{a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{n+2}}{a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n+1}}=\frac{q\left(a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n+1}\right)}{a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n+1}}=q$
即 $\frac{B(n)}{A(n)}=\frac{C(n)}{B(n)}=q$ ．所以三个数 $A(n), B(n), C(n)$ 组成公比为 $q$ 的等比数列．
> ②充分性：若对任意 $n \in N^{*}$ ，三个数 $A(n), B(n), C(n)$ 组成公比为 $q$ 的等比数列，
则 $B(n)=q A(n), C(n)=q B(n)$ ．

于是 $C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)]$ ，得 $a_{n+2}-a_{2}=q\left(a_{n+1}-a_{1}\right)$ ，即

$$ a_{n+2}-q a_{n+1}=a_{2}-q a_{1} $$

由 $n=1$ 有 $B(1)=q A(1)$ ，即 $a_{2}=q a_{1}$ ，从而 $a_{n+2}-q a_{n+1}=0$ ．

因为 $a_{n}>0$ ，所以 $\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{a_{2}}{a_{1}}=q$ ．故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列．
综上所述，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列的充分必要条件是：对任意 $n \in N^{\circ}$ ，三个数 $A(n), B(n), C(n)$ 组成公比为 $q$ 的等比数列。

【考点定位】数列的证明