2012_退役省自主命题 (2012·理)
21．（本小题满分 14 分）
设函数 $f_{n}(x)=x^{n}+b x+c \quad\left(n \in N_{+}, b, c \in R\right)$
①设 $n \geq 2, b=1, c=-1$ ，证明：$f_{n}(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内存在唯一的零点；
②设 $n=2$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in[-1,1]$ ，有 $\left|f_{2}\left(x_{1}\right)-f_{2}\left(x_{2}\right)\right| \leq 4$ ，求 $b$ 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设 $x_{n}$ 是 $f_{n}(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内的零点，判断数列 $x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n} \cdots$ 的增减性。
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解析】
> ①当 $b=1, c=-1, n \geq 2$ 时，$f(x)=x^{n}+x-1$ ，
$\because f\left(\frac{1}{2}\right) f(1)=\left(\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{2}\right) \times 1<0, \therefore f(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有零点．
又 ∵ 当 $x \in\left(\frac{1}{2}, 1\right), f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+1>0, \therefore f(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$
内单调递增，∴ $f(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有唯一的零点．
> ②当 $\mathrm{n}=2$ 时，$f(x)=x^{2}+b x+c$ ，
若 $\left|\frac{b}{2}\right|>1$ ，即 $|b|>2$ 时，
$f(x)$ 最大值 $M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4$ 与题设矛盾．
若 $-1 \leq-\frac{b}{2} \leq 0$ ，即 $0<b \leq 2$ 时，
$M=f(1)-f\left(-\frac{b}{2}\right)=\left(\frac{b}{2}+1\right)^{2} \leq 4$ 恒成立．
若 $0 \leq-\frac{b}{2} \leq 1$ ，即 $-2 \leq b \leq 0$ ，时，
$M=M=f(1)-f\left(-\frac{b}{2}\right)=\left(\frac{b}{2}-1\right)^{2} \leq 4$ 恒成立．
综 上 ：$-2 \leq b \leq 2$ ．
> ③设 $x_{n}$ 是 $f_{n}(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内的唯一零点，
$f_{n+1}(x) f_{n+1}(1)=\left(x_{n}^{n+1}+x_{n}-1\right)\left(1^{n+1}+1-1\right)$
$=x_{n}^{n+1}+x_{n}-1<x_{n}^{n}+x_{n}-1=0, \therefore f_{n+1}(x)$ 的零点 $x_{n+1}$ 在区间（ $x_{n+1}, 1$ ）内，$\therefore x_{n}<x_{n+1}(n \geq 2)$ ，
∴ 数列 $x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}, \cdots$ 是递增数列。
【考点定位】本题主要考察函数与方程，导数的综合应用，函数与数列的综合，考查综合能力。