设 F _ 1 , F _ 2 是双曲线 C : x ^…——2020 高考数学第 11 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】

由 $\triangle F _ { 1 } F _ { 2 } P$ 是以P为直角直角三角形得到 $P F _ { 1 } | ^ { 2 } + | P F _ { 2 } | ^ { 2 } = 1 6$ ，再利用双曲线的定义得到$ P F _ { 1 } - \vert P F _ { 2 } = 2$ ，联立即可得到| $P F _ { 1 }$ || $P F _ { 2 } \mid$ ，代入 $S _ { \triangle F _ { 1 } F _ { 2 } P } = \frac { 1 } { 2 } | P F _ { 1 } \| P F _ { 2 }$ |中计算即可.【详解】由已知，不妨设 $F _ { 1 } ( - 2 , 0 ) , F _ { 2 } ( 2 , 0 )$
则 $a = 1 , c = 2$ ，因为 $| O P | = 1 = \frac { 1 } { 2 } | F _ { 1 } F _ { 2 } |$
所以点P在以 $F _ { 1 } F _ { 2 }$ 为直径的圆上，
即 $\triangle F _ { 1 } F _ { 2 } P$ 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 $\mid P F _ { 1 } \mid ^ { 2 } + \mid P F _ { 2 } \mid ^ { 2 } = \mid F _ { 1 } F _ { 2 } \mid ^ { 2 }$
即 $P F _ { 1 } | ^ { 2 } + | P F _ { 2 } | ^ { 2 } = 1 6$ ，又 $\parallel P F _ { 1 } \mid - \mid P F _ { 2 } \parallel = 2 a = 2$
所以 $4 = { \left| | { \cal P F } _ { 1 } | - | { \cal P F } _ { 2 } | \right| } ^ { 2 } = | { \cal P F } _ { 1 } | ^ { 2 } + | { \cal P F } _ { 2 } | ^ { 2 } - 2 | { \cal P F } _ { 1 } | | { \cal P F } _ { 2 } | = 1 6 - 2 | { \cal P F } _ { 1 } | | { \cal P F } _ { 2 } | $
解得 $\mid P F _ { 1 } \parallel P F _ { 2 } \mid = 6$ ，所以 $S _ { \triangle F _ { 1 } F _ { 2 } P } = \frac { 1 } { 2 } | P F _ { 1 } \| P F _ { 2 } | = 3$
故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.