（本小题满分13分） 若A、B是抛物线y2=4x上的不同两…——2008 高考数学第 40 题答案解析

解: （I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x1,y1）、（x2,y2）（x1 ¹x2）,则$y21=4x1, y22=4x2,$
两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1 ¹x2,所以y1+y2 ¹0.
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则
$k= 1 21 2 1 24 2my yx x y y y-= =-$ 
.从而AB的垂直平分线l的方程为 ( ).$2mm myy y x x- = - -$
又点P（x0,0）在直线l上，所以 $0( ).2mm myy x x- = - -$
而 0,my¹于是 $02.mx x= -$故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是 ( )$m my y k x x- = -$，代入 $24y x=$中，
整理得 2 2 22[ ( ) 2] ( ) 0.m m m mk x k y kx x y kx - -  - = （·）
则 1 2x x、是方程（·）的两个实根，且
21 22( ).m my kxx xk-× =
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
2 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) (1 )( )$l x x y y k x x= -$  - =  -

2 2 2 21 2 1 2 1 222222 2 4 22 2 2 2 2 20 0(1 )[( ) 4 ] 4(1 )( )2( )44(1 )[ ]4(4 )(4 ) 4 ( 1) 164( 1) [ 2( 1)] 4( 1) [ 2( 3)] .$mm mmmmmm m m m m m mm m m mk x x x x k x x xy xyxyyy x y y y x xx y x x y x=$   - =  --=  -=  - = -  - =  - - - = - - - -
因为0< 2my<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设t= 2my,则t(0,4x0-8).
记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若x0>3,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当$t=2(x0-3),$即 $2my=2(x0-3)$时,
l有最大值2(x0-1).
若2<x0<3,则2(x0-3) 0,g(t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数，
所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.
综上所述，当x0>3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
为2（x0-1）；当2< x0 3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.