如图，在四棱锥 P - A B C D 中，底面ABCD是…——2021 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；② $\frac { \sqrt { 1 5 } } { 6 }$

【解析】

【分析】（1）要证 $A B \perp P M$ ，可证 $D C \bot P M$ ，由题意可得， $P D \perp D C$ ，易证 $D M \perp D C$ ，从而$D C \perp$ 平面 PDM，即有 $D C \bot P M$ ，从而得证；

（2）取AD中点E，根据题意可知，ME,DM,PM两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量 $\overrightarrow { A N }$ 和平面PDM的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.

【详解】（1）在 $\triangle D C M$ 中，DC =1，CM = 2, $\angle D C M = 6 0 ^ { \circ }$ ，由余弦定理可得 $D M = { \sqrt { 3 } }$

所以 $D M ^ { 2 } + D C ^ { 2 } = C M ^ { 2 } , \ \therefore D M \bot D C$ ． 由题意 $D C \bot P D$ 且 $P D \cap D M = D , \therefore D C$ ⊥平面 PDM，而 $P M \subset$ 平面 PDM，所以 $D C \bot P M$ ，又 $A B / / D C$ ，所以 $A B \perp P M$

> ②由 $P M \perp M D , A B \perp P M$ ，而 AB与 DM 相交，所以 PM ⊥平面 ABCD，因为 $A M = { \sqrt { 7 } }$ ，所以 $P M = 2 { \sqrt { 2 } }$ ，取AD中点E，连接ME，则ME,DM,PM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，

则 $A ( - \sqrt { 3 } , 2 , 0 ) , P ( 0 , 0 , 2 \sqrt { 2 } ) , D ( \sqrt { 3 } , 0 , 0 ) , M ( 0 , 0 , 0 ) , C ( \sqrt { 3 } , - 1 , 0 )$

又N为PC中点，所以 $N \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } , \sqrt { 2 } \right) , \overrightarrow { A N } = \left( \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } , - \frac { 5 } { 2 } , \sqrt { 2 } \right)$

由（1）得 $C D \perp$ 平面 PDM，所以平面 PDM 的一个法向量 $\vec { n } = ( 0 , 1 , 0 )$

从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为 $\sin \theta = \frac { \displaystyle { \vert \overrightarrow { A N } \cdot \vec { n } \vert } } { \displaystyle { \vert \overrightarrow { A N } \vert \vert \vec { n } \vert } } = \frac { \displaystyle { \frac { 5 } { 2 } } } { \displaystyle { \sqrt { \frac { 2 7 } { 4 } } + \frac { 2 5 } { 4 } + 2 } } = \frac { \displaystyle { \sqrt { 1 5 } } } { \displaystyle { 6 } }$

【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明 $A B \perp P M$ ，可以考虑 $D C \bot P M$ 题中与DC有垂直关系的直线较多，易证DC⊥平面PDM，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由

第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出.