椭圆 x^ 2 a^ 2 + y^ 2 5 =1(a 为定…——2012 高考数学第 15 题答案解析

答案：$\frac{2}{3}$
解析：如图所示，设椭圆的右焦点为 $F_{1}, A B$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ，则
$|A F|=2 a-\left|A F_{1}\right|, \triangle A B F$ 的周长为
$2|A F|+2|A H|=2\left(2 a-\left|A F_{1}\right|+|A H|\right) \because \Delta A F_{1} H$ 为直角三角形，
$\therefore\left|A F_{1}\right|>|A H|$ 仅当 $\left|A F_{1}\right|=|A H|$ ，即 $F_{1}$ 与 $H$ 重合时，$\triangle A B F$ 的周长最大，

即最大周长为 $2\left(|A F|+\left|A F_{1}\right|\right)=4 a=12, \therefore a=3$ ，而 $b=\sqrt{5}, \therefore c=2$ ，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$ 。
考点定位：本题考查椭圆的离心率，意在考查考生借助于数形结合和定义求解离心率。