在长方体 A B C D - A _ 1 B _ 1 C…——2026 高考数学第 17 题答案解析

【答案】(1)

证明：长方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } \sharp$

如图建立空间直角坐标系
$\mathrm { A B } \ = \ 2 , A A _ { 1 } = 3 , \mathrm { A D } \ = \ 4$
$A _ { 1 } E = 3 E D _ { 1 , } 2 C _ { 1 } F = F C$
$\therefore \mathrm { D } \left( 0 , 0 , 0 \right) , \mathrm { B } \left( 4 , 2 , 0 \right)$
$\mathrm { C } \left( 0 , 2 , 0 \right) , \mathrm { E } \left( 1 , 0 , 3 \right)$
$\mathrm { F } \left( 0 , 2 , 2 \right) , \mathrm { A } \left( 4 , 0 , 0 \right)$
$\therefore \overrightarrow { B D } = ( - 4 , - 2 , 0 )$
$\overrightarrow { C E } = ( 1 , - 2 , 3 )$
$\overrightarrow { C F } = ( 0 , 0 , 2 )$
$\therefore \overrightarrow { B D } \cdot \overrightarrow { C E } = 0 , \overrightarrow { B D } \bot \overrightarrow { C E }$
$\overrightarrow { B D } \cdot \overrightarrow { C F } = 0 , \overrightarrow { B D } \bot \overrightarrow { C F }$
$\therefore B D \bot C E$
$B D \bot C F$

$C E \cap C F = F$ $\therefore \mathrm { B D \bot \overrightarrow { A I } \ C E F }$ ② $\frac { \sqrt { 1 5 } } { 5 } _ { ( 3 ) 2 }$

【解析】题考查空间向量在立体几何中的应用，空间线面垂直的判定求面面角及三棱锥体积的计算.

(1)证明:长方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } \mathrm { \ell }$
如图建立空间直角坐标系
$\mathrm { A B } \ = \ 2 , A A _ { 1 } = 3 , \mathrm { A D } \ = \ 4$
$A _ { 1 } E = 3 E D _ { 1 , } 2 C _ { 1 } F = F C$
$\therefore \mathrm { D } \left( 0 , 0 , 0 \right) , \mathrm { B } \left( 4 , 2 , 0 \right)$
$\mathrm { C } \left( 0 , 2 , 0 \right) , \mathrm { E } \left( 1 , 0 , 3 \right)$
$\mathrm { F } \left( 0 , 2 , 2 \right) , \mathrm { A } \left( 4 , 0 , 0 \right)$
$\therefore \overrightarrow { B D } = ( - 4 , - 2 , 0 )$
$\overrightarrow { C E } = ( 1 , - 2 , 3 )$
$\overrightarrow { C F } = ( 0 , 0 , 2 )$
$\therefore \overrightarrow { B D } \cdot \overrightarrow { C E } = 0 . \overrightarrow { B D } \bot \overrightarrow { C E }$
$\overrightarrow { B D } \cdot \overrightarrow { C F } = 0 . \overrightarrow { B D } \bot \overrightarrow { C F }$
$\therefore B D \bot C E$ BD⊥CF
$C E \cap C F = F$
∴BD⊥面CEF
> ② 由(1)知 $\overrightarrow { B D }$ 是面CE的一个法向量
$\overrightarrow { B D } = \left( - 4 , - 2 , 0 \right)$
又 $\because \overrightarrow { A E } = ( - 3 , 0 , 3 )$
$\overrightarrow { A F } = ( - 4 , 2 , 2 )$
设 $\scriptstyle { \vec { n } } \bot$ 平面AEF， $\vec { n } = ( x , y , z )$
$\therefore { \overrightarrow { n } } \cdot { \overrightarrow { A E } } = - 3 x + 3 z = 0$
π ${ \overrightarrow { A F } } = - 4 x + 2 y + 2 z = 0$
令 $\scriptstyle \mathrm { x = 1 , } \ \mathrm { z = 1 , } \ \mathrm { y = 1 }$
$\therefore \overrightarrow { n } = ( 1 , 1 , 1 )$
$| \cos \langle { \overrightarrow { B D } } , { \overrightarrow { n } } \rangle | = | { \frac { \overrightarrow { B D } \cdot { \overrightarrow { n } } } { | { \overrightarrow { B D } } | | { \overrightarrow { n } } | } } | = { \frac { | - 6 | } { \sqrt { ( - 4 ) ^ { 2 } + ( - 2 ) ^ { 2 } } \cdot { \sqrt { 3 } } } } = { \frac { \sqrt { 1 5 } } { 5 } }$ $\therefore$ 面AEF与面CEF夹角余弦值 $\frac { \sqrt { 1 5 } } { 5 }$
(3) 在 $D _ { 1 } C _ { 1 }$ 上取点 $E _ { 1 } / \# C _ { 1 } E _ { 1 } = 3 E _ { 1 } D _ { 1 } \ \cdots A _ { 1 } E = 3 E D _ { 1 }$ $\therefore E E _ { 1 }$ = $A _ { 1 } G _ { 1 } , A _ { 1 } G _ { 1 }$ $A C ~ \therefore E E _ { 1 }$ | AC.
$E E _ { 1 }$ 面 ACF, AC⊂面 $\operatorname { A C F } ; E E _ { 1 }$ 面 ACF.
$\therefore \mathbb { E }$ 到面 ACF的距离与 $E _ { 1 }$ 到面ACF的距离相等.
$\therefore V _ { \Rightarrow \# \# \# A - C E F } = V _ { E - A C F } = V _ { E _ { 1 } - A C F } = V _ { A - E _ { 1 } C F }$
$\therefore C _ { 1 } D _ { 1 } = A B = 2 .$
$C _ { 1 } E _ { 1 } = 3 E _ { 1 } D _ { 1 }$
$\therefore C _ { 1 } E _ { 1 } = \frac { 3 } { 4 } C _ { 1 } D _ { 1 } = \frac { 3 } { 4 } \times 2 = \frac { 3 } { 2 }$
CF = 2C1F
$C F = \frac { 2 } { 3 } C C _ { 1 } = 2 .$

$$ S _ { \triangle E _ { 1 } C F } = \frac { 1 } { 2 } \times C F \times E _ { 1 } C _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times \frac { 3 } { 2 } = \frac { 3 } { 2 } . $$

$$ V _ { A - E _ { 1 } C F } = \frac { 1 } { 3 } \times A D \cdot S _ { \triangle E _ { 1 } C F } = \frac { 1 } { 3 } \times 4 \times \frac { 3 } { 2 } = 2 $$

所求三棱锥体积为2.