设直线 l _ 1 , l _ 2 分别是函数 f ( x…——2016 高考数学第 9 题答案解析

【答案】A

【解析】

试题分析：设 $P _ { 1 } \left( x _ { 1 } , \ln x _ { 1 } \right) , P _ { 2 } \left( x _ { 2 } , - \ln x _ { 2 } \right)$ (不妨设 $x _ { 1 } > 1 , 0 < x _ { 2 } < 1 \ )$ ，则由导数的几何意义易得切线$l _ { 1 } , l _ { 2 }$ 的斜率分别为 $k _ { 1 } = \frac { 1 } { x _ { 1 } } , k _ { 2 } = - \frac { 1 } { x _ { 2 } }$ . 由已知得 $k _ { 1 } k _ { 2 } = - 1 , \therefore x _ { 1 } x _ { 2 } = 1 , \therefore x _ { 2 } = { \frac { 1 } { x _ { 1 } } }$ $l _ { 1 }$ $y - \ln x _ { 1 } = { \frac { 1 } { x _ { 1 } } } { \big ( } x - x _ { 1 } { \big ) }$ ，切线 $l _ { 2 }$ 的方程为 $y + \ln x _ { 2 } = - { \frac { 1 } { x _ { 2 } } } { \big ( } x - x _ { 2 } { \big ) }$ ，即 $y - \ln x _ { 1 } = - x _ { 1 } { \Bigg ( } x - { \frac { 1 } { x _ { 1 } } } { \Bigg ) }$ $x = 0$ 得 $A { \big ( } 0 , - 1 + \ln x _ { 1 } { \big ) } , B { \big ( } 0 , 1 + \ln x _ { 1 } { \big ) }$ $l _ { 1 } .$ 与 $l _ { 2 }$ 的交点为 $P \left( { \frac { 2 x _ { 1 } } { 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } } } , \ln x _ { 1 } + { \frac { 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } } } \right) , \because x _ { 1 } > 1$ $\therefore S _ { \Delta P A B } = \frac { 1 } { 2 } \big | y _ { A } - y _ { B } \big | \cdot \big | x _ { P } \big | = \frac { 2 x _ { 1 } } { 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } } < \frac { 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } } = 1 , . . . 0 < S _ { \Delta P A B } < 1$ ．故选A.

考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.

【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点A B, 坐标，由两直线相交得出P点坐标，从而求得面积，题中把面积用 $x _ { 1 }$ 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用